Sistema autónomo de ecuaciones diferenciales

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Sistema autónomo de ecuaciones diferenciales (otro nombre: sistema estacionario de ecuaciones diferenciales ) - un caso especial de un sistema de ecuaciones diferenciales , cuando el argumento del sistema no está incluido explícitamente en las funciones que definen el sistema. $t$

Un sistema autónomo en su forma normal (también llamado sistema dinámico) tiene la forma:

{\frac {dx_{k}}{dt}}=f_{k}(x_{1},...,x_{n}),\,k=1,...,n

o en notación vectorial:

{\frac {d{\bar {x}}}{dt}}={\bar {f}}({\bar {x}})

Reducción a forma independiente

Cualquier sistema de ecuaciones diferenciales puede reducirse a uno autónomo introduciendo una función auxiliar adicional , reemplazando el argumento con ella donde aparece explícitamente y complementando el sistema con una ecuación más . Sin embargo, tal reemplazo tiene un significado predominantemente teórico, ya que aumenta la dimensión del sistema de a , lo que complica la estructura de la familia de soluciones. Sin embargo, existe un interés práctico en dicho reemplazo. En los métodos numéricos para sistemas rígidos, es conveniente pasar al argumento de la "longitud de arco", esto se hace mediante la siguiente relación , que, en realidad, es la longitud de arco de la curva integral en un espacio n + 1-dimensional. $x_{{n+1}}$ $t$ ${\frac{dx_{n+1}}{dt}}=1$ $norte$ $n+1$ ${\displaystyle dl={\sqrt {dt^{2}+\sum \limits _{i=1}^{n}dx_{i}^{2))))$

Propiedades del Sistema Autónomo

Si es una solución de un sistema autónomo de ecuaciones diferenciales (en forma vectorial), entonces esta función sigue siendo una solución incluso cuando se cambia el argumento. Un sistema autónomo modela procesos autónomos, es decir, un proceso que no está sujeto a influencias externas, y procesos estacionarios, es decir, procesos que se establecen en el tiempo. Todos estos procesos están completamente determinados por los valores iniciales de las variables de estado, es decir , y no dependen de la elección del valor inicial del argumento . ${\ estilo de visualización {\ barra {x}} = {\ barra {x}} (t)}$ $x_1,\puntos,x_n$ $t$

Véase también

Sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
Solubilidad única del problema de Cauchy para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales
Desviación de Decisiones del Sistema Autonómico

Enlaces

V. I. Arnold. Ecuaciones diferenciales ordinarias.