Argumento de Eckmann-Hilton

El argumento de Eckmann-Hilton es un teorema sobre un par de magmas unitarios , uno de los cuales es un homomorfismo para el otro. En tal caso, un simple razonamiento muestra que las estructuras de los magmas coinciden y, además, son un monoide conmutativo . Nombrado en honor a Eckmann y Hilton , quienes lo usaron en su artículo de 1962.

La aplicación más famosa de este teorema es la prueba de que los grupos de homotopía de cualquier grupo topológico son abelianos. Por ejemplo, para probar la conmutatividad , basta con considerar el producto de ciclo inducido por la multiplicación de grupos y usar el argumento de Eckmann-Hilton. $GRAMO$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {1} (G, e)}$ $GRAMO$

Enunciado y prueba del teorema

Sean y dos magmas con unidades y , y ${\ estilo de visualización (X, \ circ)}$ ${\ estilo de visualización (X, \ o veces)}$ ${\ estilo de visualización 1_ {\ circ})$ ${\ estilo de visualización 1_ {\ otras veces}}$

(a\otimes b)\circ (c\otimes d)=(a\circ c)\otimes (b\circ d)

para todos

{\ estilo de visualización a, b, c, d \ en X}

Entonces las operaciones binarias y coinciden y, además, son conmutativas y asociativas. $\circ$ $\otimes$

Nótese que las unidades de los magmas considerados coinciden: . $1_{\circ }=1_{\circ }\circ 1_{\circ }=(1_{\otimes }\otimes 1_{\circ })\circ (1_{\circ }\otimes 1_{\otimes })=(1_{\otimes }\circ 1_{\circ })\otimes (1_{\circ }\circ 1_{\otimes })=1_{\otimes }\otimes 1_{\otimes }=1_{\ a veces}$

A continuación, deja . entonces _ Así, y coinciden y son conmutativos. ${\ estilo de visualización a, b \ en X}$ $a\circ b=(1\otimes a)\circ (b\otimes 1)=(1\circ b)\otimes (a\circ 1)=b\otimes a=(b\circ 1)\ otimes (1\circ a)=(b\otimes 1)\circ (1\otimes a)=b\circ a$ $\circ$ $\otimes$

Finalmente, comprobemos la asociatividad: . $(a\otimes b)\otimes c=(a\otimes b)\otimes (1\otimes c)=(a\otimes 1)\otimes (b\otimes c)=a\otimes (b\otimes C)$

Literatura

John Baez: principio de Eckmann-Hilton (semana 89)
John Baez: Principio de Eckmann-Hilton (semana 100)
Eckmann, B. & Hilton, PJ (1962), Estructuras similares a grupos en categorías generales. I. Multiplicaciones y comultiplicaciones , Mathematische Annalen T. 145 (3): 227–255 , DOI 10.1007/bf01451367 .
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Marrón, R.; Higgins, PJ & Sivera, R. (2011), Topología algebraica no abeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, groupoides de homotopía cúbica , vol. 15, European Mathematical Society Tracts in Mathematics, p. 703 .
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