Grupos de homotopía

Los grupos de homotopía son una invariante de los espacios topológicos, uno de los conceptos básicos de la topología algebraica .

Hablando informalmente, clasifican mapeos desde esferas multidimensionales en un espacio topológico dado hasta deformación continua. Aunque fáciles de definir, los grupos de homotopía son muy difíciles de calcular, incluso para esferas. Esto los distingue de los grupos de homología , que son más fáciles de contar pero más difíciles de definir. El caso especial más simple de grupos de homotopía es el grupo fundamental .

Definición

Sea un espacio topológico, ; es un cubo unitario, es decir , y es el límite de este cubo, es decir, un conjunto de puntos del cubo tal que o 1 para algunos . El conjunto de clases de homotopía de aplicaciones continuas , para las cuales se denota (además , va a un punto para todas las aplicaciones y homotopías). En este conjunto, la multiplicación de elementos se puede definir de la siguiente manera: $X$ $x_{0}\en X$ $Yo^{n}\subconjunto \mathbb{R} ^{n}$ $I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots,t_{n}):0\leqslant t_{i}\leqslant 1\}$ $\yo parcial^{n}$ $t_{i}=0$ $i$ $[F]$ $f\dos puntos I^{n}\a X$ $f(\parcial I^{n})=x_{0}\en X$ $\pi _{n}(X,x_{0})$ $\yo parcial^{n}$ $x_{0}$

[f][g]=[f*g]

dónde

f*g(t_{1},t_{2},\puntos t_{n})=f(2t_{1},t_{2},\puntos t_{n})

, si

0\leqslant t_{1}\leqslant {\frac {1}{2))

f*g(t_{1},t_{2},\puntos t_{n})=g(2t_{1}-1,t_{2},\puntos t_{n})

, si

{\frac{1}{2}}\leqslant t_{1}\leqslant 1

Dado que en el límite del cubo , la multiplicación está definida correctamente. Es fácil comprobar que depende únicamente de la clase de homotopía y . Esta multiplicación satisface todos los axiomas del grupo . En caso de que se obtenga una composición de caminos cerrados y por tanto sea un grupo fundamental . Para n>1 se denominan grupos de homotopía superior. $f=g=x_{0}$ $[mierda]$ $[F]$ $[gramo]$ $n=1$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi _{n}(X,x_{0})$

Una aplicación continua de espacios corresponde a un homomorfismo , y esta correspondencia es funcional , es decir, el producto de aplicaciones continuas corresponde al producto de homomorfismos de grupos de homotopía , y la aplicación idéntica corresponde al homomorfismo idéntico . Si el mapeo es homotópico , entonces . $F\dos puntos (X,x_{0})\a (Y,y_{0})$ $F_{*}\dos puntos \pi _{n}(X,x_{0})\a \pi _{n}(Y,y_{0})$ $(FG)_{*}=F_{*}G_{*}$ $(id)_{*}=id_{*}$ $F$ $GRAMO$ $F_{*}=G_{*}$

Dependencia del punto de inicio

A diferencia de los grupos de homología , la definición de grupos de homotopía incluye un punto distinguido . De hecho, en el caso de espacios conexos por caminos , los grupos de homotopía no dependen de la elección de un punto, aunque en el caso general no hay isomorfismo canónico. $H_{n}(X)$ $\pi _{n}(X,x_{0})$ $x_{0}$

Abelianidad de grupos homotópicos superiores

Si bien el grupo fundamental es generalmente no abeliano , para todo n>1 son abelianos, es decir, . Una prueba visual de este hecho se puede ver en la siguiente figura (las áreas de color azul claro se asignan a un punto ): $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi _{n}(X,x_{0})$ $[f][g]=[g][f]$ $x_{0}$

Grupos de homotopía relativa y secuencias de homotopía exacta

Los grupos de homotopía relativa se definen para un espacio , su subespacio y un punto distinguido . Sea un cubo unitario ( ), sea el límite de este cubo, y sea a la cara del cubo definida por la ecuación . El conjunto de clases de homotopía de aplicaciones continuas , para las cuales se denota y en las otras caras (además , va a , y a un punto para todas las aplicaciones y homotopías). $X$ $A\subconjunto X$ $x_{0}\en X$ $Yo^{n}\subconjunto \mathbb{R} ^{n}$ $I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots t_{n}):0\leqslant t_{i}\leqslant 1\}$ $\yo parcial^{n}$ $I^{{n-1}}\subconjunto \parcial I^{n}$ $t_{n}=0$ $[F]$ $f\dos puntos I^{n}\a X$ $f\dos puntos I^{{n-1}}\a A$ $f\colon \parcial I^{n}\setminus \operatorname {Int}(I^{{n-1}})\to x_{0}$ $\pi _{n}(X,A,x_{0})$ $Yo^{{n-1}}$ $A$ $\parcial I^{n}\setminus \operatorname {Int}(I^{{n-1}})$ $x_{0}$

De la misma forma que antes, podemos probar que para este conjunto se forma un grupo, el grupo de homotopía relativa de orden . Si , entonces la cifra anterior prueba que es abeliano. (Para n=2, la prueba falla, ya que los puntos pueden ir a puntos distintos de ). $n\geqslant 2$ $norte$ $n\geqslant 3$ $\pi _{n}(X,A,x_{0})$ $Yo^{1}=\{x:x_{2}=0\}$ $A$ $x_{0}$

La incrustación induce un homomorfismo , y la incrustación (aquí debe entenderse como ) induce un homomorfismo . Cualquier elemento se define mediante una asignación que, en particular, se asigna a , y f es idénticamente igual a , definiendo un elemento de . Así obtenemos una aplicación que es un homomorfismo. Tenemos la siguiente secuencia de grupos y homomorfismos: $i\dos puntos (A,x_{0})\to (X,x_{0})$ $i_{*}\colon \pi _{n}(A,x_{0})\to \pi _{n}(X,x_{0})$ $j\dos puntos (X,x_{0})\a (X,A,x_{0})$ $(X,x_{0})$ $(X,x_{0},x_{0})$ $j_{*}\colon \pi _{n}(X,x_{0})\a \pi _{n}(X,A,x_{0})$ $[f]\en \pi _{n}(X,A,x_{0})$ $F$ $Yo^{{n-1}}$ $A$ $\yo parcial^{{n-1}}$ $x_{0}$ $\pi _{{n-1}}(A,x_{0})$ $\pi _{n} parcial (X,A,x_{0})\a \pi _{{n-1}}(A,x_{0})$

\dots ~{\longrightarrow }\pi _{n}(A,x_{0}){\stackrel {i_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,x_{ 0}){\stackrel {j_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,A,x_{0}){\stackrel {\parcial _{n}}{\longrightarrow }} \pi _{n-1}(A,x_{0}){\longrightarrow }~\dots

Esta secuencia es exacta , es decir, la imagen de cualquier homomorfismo coincide con el núcleo del siguiente homomorfismo. Por lo tanto, en el caso en que para todo , el homomorfismo de frontera es un isomorfismo. $\pi _{n}(X,x_{0})=0$ $n\geqslant 1$ $\puntos parciales \pi _{{n+1}}(X,A,x_{0})\a \pi _{n}(A,x_{0})$

Historia

El grupo fundamental fue introducido por el creador de la topología Henri Poincaré , los grupos superiores de homotopía fueron introducidos por Vitold Gurevich . A pesar de la simplicidad de su definición, el cálculo de grupos específicos (incluso para espacios tan simples como esferas de alta dimensión S n (ver grupos homotópicos de esferas ) es a menudo una tarea muy difícil, y los métodos generales se obtuvieron solo a mediados del siglo XX. Siglo XX con el advenimiento de las secuencias espectrales .

Literatura

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometría moderna: métodos y aplicaciones. — M .: Nauka, 1979
Rokhlin V. A., Fuchs D. B. Curso inicial de topología. Cabezas geométricas. — M .: Nauka, 1977
Switzer R. M. Topología algebraica: homotopía y homología. — M .: Nauka, 1985
Spanier E. Topología algebraica. — M .: Mir, 1971
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Un curso de topología homotópica. — M .: Nauka, 1989