Espacio de coordenadas

Todos los fenómenos físicos se pueden describir en diferentes espacios: coordenada, momento , fase , etc. Las descripciones son matemáticamente equivalentes, pero difieren en la complejidad e intuición de la descripción. En la mayoría de los casos, el espacio de coordenadas es intuitivo y el más fácil de entender el proceso que tiene lugar en él, sin embargo, en la física del estado sólido, en general, es más conveniente utilizar la descripción de impulso.

Definición

Llamemos vector [1] -dimensional al conjunto de números del campo, estos números son las coordenadas del vector.Para definir , decimos que el vector dado es un radio vector , aunque esto no es necesario. $norte$ $norte$ $PAGS,$ ${\vec {r}}={\vec {r}}(r_{1},r_{2},\ldots,r_{n}).$ ${\ vec {r))$

El conjunto de vectores -dimensionales para los que se definen las operaciones: $norte$

${\vec {a}}={\vec {b}}\;\leftrightarrow \;\left\{{\begin{matriz}a_{1}=b_{1}\\a_{2}=b_{2 }\\\ldots \\a_{n}=b_{n}\end{matriz}}\right.$
${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1},\;a_{2}+b_{2},\ldots,a_{n}+b_{n })$
$\lambda \cdot {\vec {a}}=(\lambda \cdot a_{1},\;\lambda \cdot a_{2},\ldots,\lambda \cdot a_{n})$

llamado espacio aritmético -dimensional o espacio de coordenadas -dimensional . $norte$ $norte$ $P^{n}$

Propiedades

Dejar $\existe {\vec {0}}=(0,0,\ldots,0),{\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}),\ lambda \in \mathbb{R} ,\mu \in \mathbb{R}$

Asociatividad :

({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}} )

Conmutatividad :

{\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}

La unicidad de la solución de la ecuación :

\forall {\vec {a)),{\vec {b}}\;\existe !\;{\vec {x}}\in P^{n}\;:\;{\vec {a}} +{\vec{x}}={\vec{b}}

La existencia de un elemento neutro :

\forall {\vec {a}}\;:\;{\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {a}}

La existencia del vector opuesto:

\forall {\vec {a}}\;\exists {\vec {b}}(b_{1}=-a_{1},\;b_{2}=-a_{2},\ldots ,b_{ n}=-a_{n})\;:\;{\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {0}}

Asociatividad de la multiplicación escalar :

\forall \lambda ,\mu \in \mathbb{R} \;:\;\lambda \cdot (\mu \cdot {\vec {a)))=(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {a}}

Distributividad de la multiplicación con respecto a la suma de escalares:

(\lambda +\mu )\cdot {\vec {a}}=\lambda \cdot {\vec {a}}+\mu \cdot {\vec {a}}

Distributividad de la multiplicación con respecto a la suma de vectores:

\lambda ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}

Existencia de vectores base:

Dejar

\left\{{\begin{matriz}{\vec {v_{1}}}={\vec {v_{1}}}(1,0,\ldots,0)\\{\vec {v_{2 }}}={\vec {v_{2}}}(0,1,\ldots,0)\\\vdots \\{\vec {v_{n}}}={\vec {v_{n}} }(0,0,\ldots,1)\end{matriz}}\right.

Después

Estos vectores son linealmente independientes
Cualquier vector se puede representar como ${\vec {v}}={\vec {v}}(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n})$ ${\vec {v}}=v_{1}\cdot {\vec {v_{1}}}+v_{2}\cdot {\vec {v_{2}}}+\ldots +v_{n}\ cdot {\vec {v_{n))}$

Operadores en el espacio de coordenadas

Todos los operadores pueden generalizarse al caso bidimensional; sin embargo, por simplicidad, en esta sección solo se considerarán los casos tridimensionales. $norte$

laplaciano :

\Delta ={\parcial ^{2} \sobre \parcial x^{2}}+{\parcial ^{2} \sobre \parcial y^{2}}+{\parcial ^{2} \sobre \parcial z^{2}}

nabla :

\nabla ={\parcial \sobre \parcial x}{\vec {i}}+{\parcial \sobre \parcial y}{\vec {j}}+{\parcial \sobre \parcial z}{\vec { k))

Operador vectorial de Laplace [2] :

{\vec {\Delta }}{\vec {A}}=\nabla (\nabla \cdot {\vec {A}})-\nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})

Operador de momento :

\mathbf {\sombrero {p}} =-i\hbar \nabla

Véase también

Notas