Operador de momento

El operador de cantidad de movimiento es un operador mecánico cuántico que se utiliza para describir la cantidad de movimiento .

Definición basada en la onda de de Broglie

Los operadores de energía y cantidad de movimiento se pueden construir de la siguiente manera [1] .

Caso unidimensional

La solución de la ecuación unidimensional de Schrödinger en forma de onda plana tiene la forma:

{\displaystyle \Psi =e^{i(kx-\omega t)))

Derivada de primer orden con respecto a la coordenada:

{\frac {\parcial \Psi }{\parcial x}}=ike^{i(kx-\omega t)}=ik\Psi

Expresando a partir de la relación de De Broglie : $k$

{\ estilo de visualización p = \ hbar k}

la fórmula para la derivada ψ toma la siguiente forma:

{\frac {\parcial \Psi }{\parcial x}}=i{\frac {p}{\hbar }}\Psi

Así, obtenemos:

{\sombrero {p}}=-i\hbar {\frac {\parcial }{\parcial x}}

Las cantidades que se miden en el experimento son los valores propios del operador dado.

Dado que la derivada parcial es un operador lineal , el operador de cantidad de movimiento también es lineal. Dado que cada función de onda se puede expresar como una superposición cuántica de estados, cuando este operador de momento actúa sobre toda la superposición de onda, da valores propios para cada onda plana, cuya suma es el momento resultante de la superposición de onda.

Tres dimensiones

La ecuación en tres dimensiones se escribe de manera similar, excepto por el operador de gradiente, que incluye derivadas parciales con respecto a las coordenadas. En el caso tridimensional, la solución de la ecuación de Schrödinger en forma de ondas planas será la siguiente:

{\displaystyle \Psi =e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)))

donde esta el gradiente

{\begin{alineado}\nabla \Psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\parcial \Psi }{\parcial x))+\mathbf {e}_{y}{ \frac {\parcial \Psi }{\parcial y))+\mathbf {e} _{z}{\frac {\parcial \Psi }{\parcial z))\\&=ik_{x}\Psi \ mathbf {e} _{x}+ik_{y}\Psi \mathbf {e} _{y}+ik_{z}\Psi \mathbf {e} _{z}\\&={\frac {i} {\hbar}}\left(p_{x}\mathbf {e}_{x}+p_{y}\mathbf {e}_{y}+p_{z}\mathbf {e}_{z}\ derecha)\Psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {\hat {p}} \Psi \\\end{alineado}}

donde , y son vectores unitarios para la tridimensionalidad, y por lo tanto $\mathbf{e}_x$ $\mathbf{e}_y$ $\mathbf{e}_z$

\mathbf {\sombrero {p}} =-i\hbar \nabla

Este es el operador de momento en la representación de coordenadas: las derivadas parciales en él se toman con respecto a las variables espaciales.

Definición basada en la invariancia de traducción

El operador de traslación se denota como T ( ϵ ) , donde ϵ es la magnitud de la traslación y satisface la siguiente relación:

T(\epsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\epsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle

que se convierte

\int dx|x+\epsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\epsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi ( x-\epsilon)

Suponiendo que ψ sea una función analítica (es decir, diferenciable en algún dominio del plano complejo ), se puede expandir a una serie de Taylor en x :

{\displaystyle \psi (x-\epsilon)=\psi (x)-\epsilon {d\psi \over dx))

después:

T(\epsilon)=1-\epsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar}\epsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)

Como se sabe de la mecánica clásica , el momento es un generador de traslación , por lo que la relación entre los operadores de traslación y momento se verá así:

T(\epsilon)=1-{i \over \hbar }\epsilon {\hat {p))

después

{\sombrero {p}}=-i\hbar {d \sobre dx}\,.

Operador de impulso de cuatro dimensiones

Este operador se parece a:

{\hat {P}}_{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\hat {E}},-\mathbf {\hat {p}} \right) =i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\parcial }{\partial t)),\nabla \right)=i\hbar \parcial _{\mu }

donde ∂ μ es el gradiente de 4 y − iħ se convierte en + iħ frente al operador de momento 3D. Este operador aparece en la teoría cuántica relativista de campos , al igual que la ecuación de Dirac y otras ecuaciones de ondas relativistas . La energía y el momento se combinan en un vector de 4 momentos y corresponden a derivadas parciales de primer orden con respecto al tiempo y las coordenadas para coincidir con la invariancia de Lorentz .

Propiedades

Hermiticidad

El operador momento pertenece a los operadores hermitianos [2] .

Relaciones de conmutación

Usando la representación de coordenadas o momento, se puede demostrar que:

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar.

Prueba:

Escribamos la expresión y multiplíquela por la función ${\ estilo de visualización \ psi (x)}$

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}\right]\psi (x)=-xi\hbar {d \over dx}\psi (x)-(-i\ hbar {d \sobre dx}(\psi (x)x))

aplicando la regla de diferenciación de una función compleja, obtenemos:

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}\right]\psi (x)=-xi\hbar {d \over dx}\psi (x)+xi\hbar { d \sobre dx}\psi (x)+\psi (x)i\hbar {d \sobre dx}\ x

acortar:

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}\right]\psi (x)=\psi (x)i\hbar

dividir ambas partes por la función ${\ estilo de visualización \ psi (x)}$

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}\right]=i\hbar

Por lo tanto, la coordenada y el momento son cantidades conjugadas .

Además, los operadores de componentes de cantidad de movimiento también son conmutativos.

Transformada de Fourier

Se puede demostrar que la transformada de Fourier del momento es el operador de coordenadas . Usando la notación en forma de vectores bra y ket :

\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {d \over dx}\psi (x)

Lo mismo se aplica para el operador de coordenadas en la notación de momento:

\langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =i\hbar {d \over dp}\psi (p)

y otra relación importante:

\langle p|{\hat {x}}|p'\rangle =i\hbar {d \over dp}\delta (pp')

\langle x|{\hat {p}}|x'\rangle =-i\hbar {d \over dx}\delta (xx')

donde corresponde a la función delta de Dirac . $\delta$

Enlaces

↑ Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª edición), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
↑ Landau, L. D., Lifshitz, E. M. Mecánica cuántica (teoría no relativista). - 6ª edición, revisada. — M.: Fizmatlit, 2004. — 800 p. - ("Física Teórica", Tomo III). — ISBN 5-9221-0530-2