Longitud afín
La longitud afín es un parámetro de una curva plana , que se conserva durante las transformaciones equiafines (es decir , transformaciones afines que conservan el área ).
Definición
Para una curva plana , la longitud afín se calcula mediante la fórmula
![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2c00124194b1c0af00f122fc292b24614cb002)
donde denota el producto vectorial y y son la primera y la segunda derivada.
Casos especiales
- La longitud afín de un gráfico de función viene dada por
- Para una curva con parámetro natural y curvatura
![{\displaystyle l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|f''(x)|}}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ad8f2c7ada540f74278afe3f9bf3307e380209)
![{\displaystyle l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt[{3}]{|\varkappa (s)|}}ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca817d2e56a118bb4c0c87f8d9d1cbb77cc5645)
Propiedades
- La longitud de arco afín de una parábola es donde S es el área del triángulo formado por la cuerda del arco y las tangentes a la parábola en los extremos del arco.
- Entre las curvas cerradas convexas con una longitud afín fija, las elipses (y solo ellas) limitan el área más pequeña.
![{\displaystyle 2{\sqrt[{3}]{S)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1053aca4b4d7b8c1562c836a2510e2467fffcd76)
Variaciones y generalizaciones
También hay generalizaciones de longitud afín al caso de curvas espaciales y al grupo afín general, así como a sus otros subgrupos.
Literatura
- L. Feyesh Tot, Arreglos en un plano, en una esfera y en el espacio , M., Fizmatlit, 1958. - 364 p.