Conexión afín

Una conexión afín es una conexión lineal en el haz tangente de una variedad . Las expresiones coordinadas de la conexión afín son los símbolos de Christoffel .

En una variedad uniforme , cada punto tiene su propio espacio tangente . Una conexión afín permite considerar espacios tangentes a lo largo de una misma curva como pertenecientes al mismo espacio, esta identificación se denomina traslación paralela . Debido a esto, por ejemplo, se pueden definir operaciones de diferenciación de campos vectoriales .

Conexión afín y cálculo tensorial

En el espacio euclidiano tridimensional , se define la operación de diferenciación de campos vectoriales. Cuando la derivada de un campo vectorial en una variedad se define mediante una fórmula de este tipo, la cantidad obtenida no es un campo vectorial (tensor). Es decir, al cambiar de coordenadas, no se transforma según la ley del tensor. Para que el resultado de la diferenciación sea un tensor, se introducen términos de corrección adicionales. Estos términos se conocen como símbolos de Christoffel .

Definición

Sea M una variedad suave y denotemos el espacio de campos vectoriales en M . Entonces la conexión afín en M es el mapeo bilineal $C^\infty(M,TM)$

\begin{matriz} C^\infty(M,TM)\times C^\infty(M,TM) & \rightarrow & C^\infty(M,TM)\\ (X,Y) & \mapsto & \ nabla_X Y, \end{matriz}

tal que para cualquier función suave f ∈ C ∞ ( M , R ) y cualquier campo vectorial X , Y en M :

$\nabla_{fX}Y = f\nabla_X Y$ , es decir, lineal en el primer argumento; $\nabla$
$\nabla_X (fY) = \mathrm df(X)Y + f\nabla_XY$ , es decir, cumple la regla de Leibniz con respecto a la segunda variable. $\nabla$

Definiciones relacionadas

La torsión de una conexión afín es la expresión $\nabla$

T^{\nabla }(X,Y)=\nabla_{X}Y-\nabla_{Y}X-[X,Y],

donde denota el corchete de mentira de los campos vectoriales.

[{*},{*}]

Una conexión afín con torsión cero en una variedad de Riemann con respecto a la cual el tensor métrico es covariantemente constante se denomina conexión de Levi-Civita . ${\ estilo de visualización (\ nabla g = 0)}$
La curvatura de una conexión afín(o curvatura de Riemann) es el tensor $\nabla$ $R^{\nabla }(X,Y)Z=\nabla_{X}\nabla_{Y}Z-\nabla_{Y}\nabla_{X}Z-\nabla_{[X ,Y]}Z.$
Una conexión afín con curvatura cero se llama euclidiana .

Literatura

Obras originales

Christoffel, Elwin Bruno (1869), Über die Transformation der homogeneen Differentialausdrücke zweiten Grades, J. Für die Reine und Angew. Matemáticas. T. 70: 46–70
Levi-Civita, Tullio (1917), Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana , Rend. Circ. Estera. Palermo T. 42: 173–205 , DOI 10.1007/bf03014898
Cartan, Élie (1923), Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure T. 40: 325–412 , < http://www.numdam .org/item?id=ASENS_1923_3_40__325_0 > Archivado el 11 de abril de 2014 en Wayback Machine .
Cartan, Élie (1924), Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure T. 41: 1–25 , < http:// www.numdam.org/item?id=ASENS_1924_3_41__1_0 > Archivado el 11 de abril de 2014 en Wayback Machine .

En este trabajo, la aproximación al estudio de la conexión afín está motivada por el estudio de la teoría de la relatividad. Incluye una discusión detallada de los marcos de referencia y cómo la conectividad refleja la noción física de movimiento a lo largo de una línea de mundo .

Cartan, Élie (1926), Espacios de conexión afines, proyectivos y conformes , Acta Math. T. 48: 1–42 , DOI 10.1007/BF02629755

En este trabajo, se utiliza un enfoque más matemático para el estudio de la conexión afín.

Cartan, Élie (1951), con apéndices de Robert Hermann, ed., Geometry of Riemannian Spaces (traducción de James Glazebrook de Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann , 2nd ed.), Math Sci Press, Massachusetts, 1983, ISBN 978 -0-915692-34-7 , < https://books.google.com/?id=-YvvVfQ7xz4C&pg=PP1 > .

La conexión afín se considera desde el punto de vista de la geometría riemanniana . Un apéndice escrito por Robert Herman Archivado el 13 de junio de 2015 en Wayback Machine analiza la motivación desde la perspectiva de la teoría de la superficie, así como la noción de una conexión afín en el sentido moderno y las propiedades básicas de una derivada covariante .

Weyl, Hermann (1918), Raum, Zeit, Materie (5 ediciones hasta 1922, con notas de Jürgen Ehlers (1980), traducción de la 4ª edición Space, Time, Matter de Henry Brose, 1922 (Methuen, reimpreso en 1952 por Dover) ed. ), Springer, Berlín, ISBN 0-486-60267-2

Literatura Moderna

Rashevsky PK Geometría de Riemann y análisis tensorial. - Cualquier edición.
Kobayashi Sh ., Nomizu K. Fundamentos de geometría diferencial. - Novokuznetsk: Instituto Novokuznetsk de Física y Matemáticas. - T. 1. - 344 pág. - ISBN 5-80323-180-0 .
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometría moderna. Métodos y aplicaciones. — M.: Nauka, 1979.
Postnikov M. M. Colectores lisos (Conferencias sobre Geometría. Semestre III) .