Biduga

Una biduga es una curva plana suave compuesta por dos arcos circulares más pequeños que un círculo completo. Uno de los arcos puede ser un segmento de línea recta. Los biarcos fueron propuestos [1] para el modelado geométrico (construcción, aproximación ) de curvas con puntos límite dados y tangentes en ellas. En la clase de biarcs, este problema tiene toda una familia de soluciones y requiere condiciones adicionales para encontrar curvas específicas. Estos pueden ser establecer la curvatura o la rotación de uno de los arcos, una longitud fija de la curva [2] , el requisito de minimizar el salto de curvatura en el punto de unión, etc.

Para un bi-arco, la dependencia de la curvatura de la longitud del arco es monótona (ya que consta de dos secciones constantes), por lo que el bid-arco es la espiral más simple [3] . ${\ estilo de visualización k (s)}$

Ejemplos de bidugs

En la fig. 1 muestra seis bidugs . Los puntos y son los puntos inicial y final de la curva, (join) es el punto de conjugación suave de dos arcos. ${\ estilo de visualización AJB}$ $A$ $B$ $j$

Los ejemplos 1-4 ilustran biarcs cortos: no intersecan el complemento de una cuerda a una línea infinita, aunque pueden intersecar la cuerda misma (biarc 1). Por lo general, estas curvas son los objetos de aproximación.

Los ejemplos 5 y 6 ilustran biarcs largas: cortan el complemento de la cuerda, es decir, giran alrededor de uno de los extremos.

Para las curvas 1, 2 y 6, el punto es un punto de inflexión: en él, la curvatura cambia de signo (- a + para las curvas 1, 2 y + a - para la curva 6). $j$

Las curvas se colocan en un sistema de coordenadas de cuerda de longitud , en el que las coordenadas de los puntos inicial y final son iguales . $\overrightarrow {AB}$ ${\ estilo de visualización \; 2c = | AB |}$ $A=(-c,0),\;\;B=(c,0)$

Las pendientes orientadas de las tangentes en los puntos y , medidas con respecto a la dirección de la cuerda , se denotan por y . Entonces, para bidugi 1 en la Fig. 1 , y para bidugs 2-6- . $A$ $B$ $\overrightarrow {AB}$ $\alfa$ $\beta$ ${\ estilo de visualización \; \ alfa > 0, \; \ beta > 0}$ ${\ estilo de visualización \; \ alfa > 0, \; \ beta <0}$

Descripción de la familia bidug

Vectores tangentes a la frontera para las curvas 2-6 en las Figs. 1 son iguales: estas curvas son miembros de una familia de arcos bicatenarios de un parámetro con tangentes comunes en los extremos. La familia completa se muestra en el fragmento inferior de la Figura 2. $\alpha =100^{\circ },\quad \beta =-30^{\circ }.$

Además, las propiedades principales de la familia de bi-arcos con tangentes comunes en los extremos se dan en base a los materiales del artículo [4] . El parámetro de la familia se denota por . La designación de la biarc en la forma implica fijar las constantes, es decir, . $pags$ ${\mathcal {B}}(p)$ ${\mathcal {B}}(p;\,\alpha,\beta,c)$

Las figuras 2, 3, 4 ilustran tales familias para varios pares. ${\ estilo de visualización \ {\ alfa, \ beta \}.}$

Relaciones para ángulos y curvaturas

Los ángulos y se consideran definidos en el rango : , . La construcción de un bidug es posible con $\alfa$ $\beta$ ${\ estilo de visualización [- \ pi; \, \ pi]}$ ${\ estilo de visualización - \ pi \ leqslant \ alfa \ leqslant \ pi}$ ${\ estilo de visualización - \ pi \ leqslant \ beta \ leqslant \ pi}$

\qquad 0<|\alpha +\beta |<2\pi .\qquad (1)

Introduzcamos la notación

\omega ={\frac {\alpha +\beta }{2)),\quad \gamma ={\frac {\alpha -\beta }{2))

Las desigualdades (1) significan que . $\;\sin \omega \not =0$

La curvatura del primer arco y la curvatura del segundo arco se expresan como funciones del parámetro de la familia mediante las siguientes fórmulas: $k_{1}$ ${\ estilo de visualización (AJ)}$ $k_{2}$ ${\ estilo de visualización (JB)}$

k_{1}(p)={\frac {1}{c}}\left(-\sin \alpha -{\frac {\sin \omega }{p}}\right),\quad k_ {2}(p)={\frac {1}{c}}\left(\sin \beta +p\sin \omega \right).

Dejar

$\ theta _ {1}$ y - rotación y longitud del arco : ; $L_{1}$ ${\ estilo de visualización AJ}$ ${\ estilo de visualización \ theta _ {1} = k_ {1} L_ {1}}$
$\ theta _ {2}$ y - rotación y longitud del arco : . $L_{2}$ ${\ estilo de visualización JB}$ ${\ estilo de visualización \ theta _ {2} = k_ {2} L_ {2}}$

Las igualdades son justas

\theta _{1}(p)=2\arg \left(\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \alpha }+p^{-1}{\mathrm {e} ^{ -\mathrm {i} \omega }}\right),\quad \theta _{2}(p)=2\arg \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta }+p\ ,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega }\right).

El lugar geométrico de los puntos de conjugación

Los puntos de unión de dos arcos se encuentran en un círculo. $j$

X_{J}(p)={\frac {c(p^{2}-1)}{p^{2}+2p\cos \gamma +1)),\quad Y_{J}( p)={\frac {2cp\sin \gamma }{p^{2}+2p\cos \gamma +1)),\quad -\infty \leqslant p\leqslant \infty .\qquad (2)

Este círculo sale del punto formando un ángulo y pasa por el punto Cuando (es decir, cuando ) es una línea recta (Fig. 3). Los biarcos de la familia intersecan este círculo en un ángulo constante . $A$ $\gama$ $b.$ ${\ estilo de visualización \ gamma = 0}$ ${\ estilo de visualización \ alfa = \ beta}$ $AB$ ${\ estilo de visualización - \ omega}$

El vector de la tangente al bi-arco en el punto de conjugación es , donde $||\cos \tau _{{}_{J)),\,\sin \tau _{{}_{J}}||$

\tau_{{}_{J}}(p)={-2}\operatorname {arctg} {\dfrac {p\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\ frac {\beta }{2}}}{p\cos {\frac {\alpha }{2}}+\cos {\frac {\beta }{2}}}}.

Se realiza un bi-arco con un salto de curvatura mínimo en el punto de conjugación cuando el punto se encuentra en el eje y $\min \left|k_{2}(p)-k_{1}(p)\right|,$ $p=\pm 1;$ $j$ ${\ estilo de visualización (X_ {J} = 0).}$

Bidus degenerados

En la familia de los biarcs, se pueden distinguir los siguientes biarcs degenerados .

Bi-arco : cuando el punto de conjugación del bi-arco tiende al punto , la parte desaparece, convirtiéndose en un momento de curvatura infinita . El biarc degenera en un arco circular basado en la cuerda y que tiene una tangente común en el punto final con los biarcs de la familia. ${\mathcal {B}}(0)$ ${\ estilo de visualización p \ a 0}$ ${\ estilo de visualización J (p)}$ ${\ estilo de visualización AJB}$ $A$ ${\ estilo de visualización AJ}$ $AB$
Biduga : la aspiración atrae , una parte desaparece. El biarc degenera en un arco circular basado en una cuerda y que tiene una tangente común en el punto inicial con los biarcs de la familia. ${\mathcal {B}}(\infty)$ $p\to \infty$ ${\ estilo de visualización J (p) \ a B}$ ${\ estilo de visualización JB}$ $AB$
Biduga , donde ${\mathcal {B}}(p^{\ast})$ $\qquad p^{\ast }=\left\{{\begin{array}{lll}-{\dfrac {\sin \omega }{\sin \alpha )),\quad &{\text{ if))\;|\alpha |\geqslant |\beta |\quad (-\infty ,\;{\text{at))\;|\alpha |=\pi ),\\-{\dfrac {\ sin \beta }{\sin \omega )),\quad &{\text{if}}\;|\alpha |\leqslant |\beta |\quad (\;0,\;\;\;{\text {en}}\;|\beta |=\pi ),\end{matriz}}\right.$ es un bi-arco discontinuo que pasa por un punto infinitamente distante del plano. Siempre , y las desigualdades (1) excluyen la igualdad simultánea . En las Figuras 2, 3, los bidugs discontinuos se muestran con una línea roja de puntos y guiones. $p^{\ast}\leqslant0$ ${\ estilo de visualización | \ alfa | = | \ beta | = \ pi}$

Teniendo en cuenta estos tres biarc degenerados , el único biarc pasa por cualquier punto del plano con polos perforados $A$ $B$ ${\mathcal {B}}(p)$ . Es decir, una biarco pasa por el punto con el parámetro $(x, y)$

\qquad p(x,y)=\left\{{\begin{array}{ll}-{\dfrac {[(x+c)^{2}+y^{2}]\sin \ omega }{(c^{2}-x^{2}-y^{2})\sin \alpha -2cy\cos \alpha }},\quad &{\text{if}}\quad \omega \ ,C(x,y)\leqslant 0,\\-{\dfrac {(c^{2}-x^{2}-y^{2})\sin \beta +2cy\cos \beta }{[ (xc)^{2}+y^{2}]\sen \omega }},\quad &{\text{if}}\quad \omega \,C(x,y)\geqslant 0,\end{ matriz}}\derecha.

donde _ $\;C(x,y)=(c^{2}-x^{2}-y^{2})\sin \gamma -2cy\cos \gamma$

Estructura familiar

En la familia de biarcs , distinguimos, según el valor del parámetro, las siguientes subfamilias de biarcs no degeneradas: ${\mathcal {B}}(p;\,\alpha,\beta,c)$ $pags,$

{\begin{matriz}{l}{\mathcal {B}}^{\,+}(p){:}\quad p\in (0;\infty);\\{\mathcal {B } ))_{1}^{\,-}(p){:}\quad p\in (p^{\ast };0);\\{\mathcal {B))_{2}^{ \ ,-}(p){:}\quad p\in (-\infty ;p^{\ast });\\{\mathcal {B}}^{\,-}(p)={\mathcal { B))_{1}^{\,-}(p)\cup {\mathcal {B))_{2}^{\,-}(p)\end{matriz))

(en [4] , Propiedad 2, las subfamilias y se denominan, respectivamente, subfamilia principal y subfamilia complementaria ). ${\mathcal {B}}^{\,+}$ ${\mathcal {B}}^{\,-}$

En las Figuras 2, 3, 4, los bidugs pertenecientes a las subfamilias , y se muestran en marrón, azul y verde, respectivamente. $\color {siena}{\mathcal {B}}^{\,+}$ $\color {azul}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}$ $\color {verde}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}$

Los bidugs de la subfamilia son cortos. Su curvatura aumenta (si ) o disminuye (si ): ${\mathcal {B}}^{\,+}$ ${\ estilo de visualización \ omega > 0}$ ${\ estilo de visualización \ omega <0}$

$\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn} \omega =\operatorname {sgn}(\alpha +\beta )$ ( Teorema de V. Vogt para espirales cortas ).

Están contenidos dentro de la lente , una región delimitada por biarcs degenerados y (la región de la lente está sombreada en las figuras). El ancho angular de la lente (firmado) es . GMT (2) es la bisectriz de la lente . ${\mathcal {B}}(0)$ ${\mathcal {B}}(\infty)$ ${\ estilo de visualización \ alfa + \ beta = 2 \ omega}$

Los biarcos de la subfamilia tienen la naturaleza opuesta (con respecto a ) de la monotonicidad de la curvatura. Si y , entonces los bidugs de esta subfamilia son largos. El bidug discontinuo separa los bidugs de las subfamilias entre sí . ${\mathcal {B}}^{\,-}$ ${\mathcal {B}}^{\,+}$
${\ estilo de visualización | \ alfa | \ no = \ pi}$ ${\ estilo de visualización | \ beta | \ no = \ pi}$ $\color {rojo}{\mathcal {B}}(p^{\ast})$ ${\mathcal {B}}_{{\color {azul}1},{\color {verde}2}}^{\,-}$

La subfamilia está vacía si ${\mathcal {B}}_{1}^{\,-}$ $p^{\ast}=0$ ${\ estilo de visualización (| \ beta | = \ pi).}$

La subfamilia está vacía si ${\mathcal {B}}_{2}^{\,-}$ $p^{\ast}=-\infty$ ${\ estilo de visualización (| \ alfa | = \ pi).}$

Redefinición de los ángulos de contorno en un sentido acumulativo . La integración de la ecuación de biarc natural da una función continua (lineal por partes) : el ángulo de inclinación de la tangente a la curva. Con esta definición, continuo , sus valores pueden ir más allá de , y los valores en los extremos pueden diferir de . Definamos, junto con , las versiones acumulativas de los ángulos de contorno en la forma haz ; la corrección al ángulo se hace si el bi-arco gira alrededor del punto (cruzando el complemento derecho de la cuerda a una línea infinita): ${\ estilo de visualización \ tau (s)}$ ${\ estilo de visualización \ pm \ pi}$ ${\ estilo de visualización \ alfa, \ beta}$ ${\ estilo de visualización \ pm 2 \ pi.}$ ${\ estilo de visualización \ alfa, \ beta}$ ${\widetilde {\alpha )),{\widetilde {\beta ))$ ${\ estilo de visualización \ tau (s).}$ $\alfa$ $A,$ ${\displaystyle\{x<-c,\,y=0\}}$ $\beta$ $B$

en la subfamilia : ; ${\mathcal {B}}^{\,+}$ ${\widetilde {\alpha }}=\alpha ,\qquad \qquad \quad {\widetilde {\beta }}=\beta$
en la subfamilia : ; ${\mathcal {B}}_{1}^{\,-}$ ${\widetilde {\alpha }}=\alpha -2\pi \operatorname {sgn} \omega ,\;{\widetilde {\beta }}=\beta$
en la subfamilia : . ${\mathcal {B}}_{2}^{\,-}$ ${\widetilde {\alpha }}=\alpha ,\qquad \qquad \quad {\widetilde {\beta }}=\beta -2\pi \operatorname {sgn} \omega$

Entonces la vuelta completa del bi-arco es igual a ${\mathcal {B}}(p)$

\theta _{1}(p)+\theta _{2}(p)={\widetilde {\beta }}-{\widetilde {\alpha )),

y el aumento/disminución de la curvatura corresponde a la igualdad

\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn}({\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}).

Entonces, para biarcs con curvatura creciente , tenemos: ${\displaystyle k_{2}>k_{1))$

{\widetilde {\alpha }}>-\pi ,\quad {\widetilde {\beta }}>-\pi ,\quad 0<{\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}<2\pi .

Enlaces

↑ Bolton, KM Biarc curves // Computer-Aided Design. - 1975. - vol. 7 . - P. 89-92 . -doi : 10.1016 / 0010-4485(75)90086-X .
↑ Sabitov I.Kh. , Slovesnov A. V. Aproximación de curvas planas por arcos circulares // Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics . - 2010. - T. 50 , N º 8 . - S. 1347-1356 .
↑ Kurnosenko I.A. Propiedades generales de las curvas espirales planas // Apuntes de Seminarios Científicos POMI . - 2009. - T. 353 . - S. 93-115 . — ISSN 0373-2703 . [una]
↑ 1 2 Kurnosenko, AI Biarcs and bilens (inglés) // Diseño geométrico asistido por computadora. - 2013. - Vol. 30 , núm. 3 . - P. 310-330 . -doi : 10.1016/ j.cagd.2012.12.002 . [2]

Literatura

Nutbourne, AW; Martin, R. R. Geometría diferencial aplicada al diseño de curvas y superficies. Vol.1: Fundamentos (Inglés) . - Ellis Horwood, 1988. - ISBN 013211822X .

Véase también

teorema de Vogt