Interpolación bicúbica

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 26 de noviembre de 2018; las comprobaciones requieren 16 ediciones .

La interpolación bicúbica es una extensión de la interpolación cúbica en matemáticas computacionales al caso de una función de dos variables, cuyos valores se dan en una cuadrícula regular bidimensional. La superficie resultante de la interpolación bicúbica es una función suave en los límites de los cuadrados adyacentes, a diferencia de las superficies resultantes de la interpolación bilineal o la interpolación del vecino más cercano .

La interpolación bicúbica se usa a menudo en el procesamiento de imágenes , lo que brinda una mejor calidad de imagen que la interpolación bilineal. Además, la interpolación bicúbica se utiliza en algoritmos de control para máquinas CNC para tener en cuenta las irregularidades de la superficie, por ejemplo, al fresar placas de circuito impreso.

Principio del método

En el caso de la interpolación bicúbica, el valor de la función en el punto deseado se calcula a través de sus valores en 16 puntos vecinos ubicados en los vértices de los cuadrados del plano . $x, y$

Cuando use las fórmulas a continuación para implementar mediante programación la interpolación bicúbica, recuerde que los valores de y son relativos, no absolutos. Por ejemplo, para un punto con coordenadas . Para obtener valores relativos de coordenadas, es necesario redondear las coordenadas reales hacia abajo y restar los números obtenidos de las coordenadas reales. $X$ $y$ $(100.3,100.8)$ $x=0,3,y=0,8$

f(y,x)=b_{{1}}f(0,0)+b_{{2}}f(0,1)+b_{{3}}f(1,0)+b_{{4 }}f(1,1)+b_{{5}}f(0,-1)+b_{{6}}f(-1,0)+b_{{7}}f(1,-1) +b_{{8}}f(-1,1)+

$+b_{{9}}f(0,2)+b_{{10}}f(2,0)+b_{{11}}f(-1,-1)+b_{{12}}f( 1,2)+b_{{13}}f(2,1)+b_{{14}}f(-1,2)+b_{{15}}f(2,-1)+b_{{16 }}f(2,2)$ ,

dónde

b_{{1}}={\frac{1}{4}}(x-1)(x-2)(x+1)(y-1)(y-2)(y+1)

b_{{2}}=-{\frac{1}{4}}x(x+1)(x-2)(y-1)(y-2)(y+1)

b_{{3}}=-{\frac{1}{4}}y(x-1)(x-2)(x+1)(y+1)(y-2)

b_{{4}}={\frac{1}{4}}xy(x+1)(x-2)(y+1)(y-2)

b_{{5}}=-{\frac{1}{12}}x(x-1)(x-2)(y-1)(y-2)(y+1)

b_{{6}}=-{\frac{1}{12}}y(x-1)(x-2)(x+1)(y-1)(y-2)

b_{{7}}={\frac {1}{12}}xy(x-1)(x-2)(y+1)(y-2)

b_{{8}}={\frac{1}{12}}xy(x+1)(x-2)(y-1)(y-2)

b_{{9}}={\frac{1}{12}}x(x-1)(x+1)(y-1)(y-2)(y+1)

b_{{10}}={\frac{1}{12}}y(x-1)(x-2)(x+1)(y-1)(y+1)

b_{{11}}={\frac{1}{36}}xy(x-1)(x-2)(y-1)(y-2)

b_{{12}}=-{\frac{1}{12}}xy(x-1)(x+1)(y+1)(y-2)

b_{{13}}=-{\frac{1}{12}}xy(x+1)(x-2)(y-1)(y+1)

b_{{14}}=-{\frac{1}{36}}xy(x-1)(x+1)(y-1)(y-2)

b_{{15}}=-{\frac{1}{36}}xy(x-1)(x-2)(y-1)(y+1)

b_{{16}}={\frac{1}{36}}xy(x-1)(x+1)(y-1)(y+1)

De manera similar, se pueden utilizar interpolaciones de orden superior, calculando los valores de la función a partir de puntos vecinos. $4k^{2}$

Interpolación spline bicúbica

Supongamos que es necesario interpolar el valor de la función en un punto que se encuentra dentro del cuadrado , y se conoce el valor de la función en dieciséis puntos adyacentes . $f(x,y)$ $P(x, y)$ $[0,1]\veces [0,1]$ $F$ $(i,j),i=-1\ldots 2,j=-1\ldots 2$

Entonces, la forma general de la función que define la superficie interpolada se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle p(x,y)=\sum_{i=0}^{3}\sum_{j=0}^{3}a_{ij}x^{i}y^{j))$ .

Para encontrar los coeficientes , es necesario sustituir los valores de la función en dieciséis puntos conocidos en la ecuación anterior. Por ejemplo: $a_{{ij}}$

${\begin{alineado}f(-1,0)&=a_{{00}}&-&a_{{10}}&+&a_{{20}}&-&a_{{30}}\\f(0 ,0)&=a_{{00}}\\f(1,0)&=a_{{00}}&+&a_{{10}}&+&a_{{20}}&+&a_{{30} }\\f(2,0)&=a_{{00}}&+&2a_{{10}}&+&4a_{{20}}&+&8a_{{30}}\\\end{alineado}}$ .

Completamente en forma matricial:

$M\alfa ^{T}=\gamma ^{T}$ ,

dónde

$\alpha =\left[{\begin{matriz pequeña}a_{{00}}&a_{{01}}&a_{{02}}&a_{{03}}&a_{{10}}&a_{{11}}&a_{ {12}}&a_{{13}}&a_{{20}}&a_{{21}}&a_{{22}}&a_{{23}}&a_{{30}}&a_{{31}}&a_{{32 }}&a_{{33}}\end{matriz pequeña}}\right]$ ,

$\gamma =\left[{\begin{matriz pequeña}f(-1,-1)&f(0,-1)&f(1,-1)&f(2,-1)&f(-1,0)&f( 0.0)&f(1.0)&f(2.0)&f(-1.1)&f(0.1)&f(1.1)&f(2.1)&f(-1.2)&f( 0,2)&f(1,2)&f(2,2) \end{matriz pequeña}}\right]$ ,

$M=\left[{\begin{smallmatrix}1&-1&1&-1&-1&1&-1&1&1&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1&1& -1&1&-1\\1&-1&1&-1&2&-2&2&-2&4&-4&4&-4&8&-8&8&-8\\1&0&0&0&-1&0&0&0&1&0&0&0&-1&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&0&0&1&0&0&0&1&0&0&0\\1&0&0&0&2&0&0&0&4&0&0&0&8&0&0&0\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1&1&1& -1&-1&-1&-1\\1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&2&2&2&2&4&4&4&4&8&8&8&8\\1&2&4&8&-1&-2&-4&-8&1&2&4&8&-1&-2&-4&-8\\1&2&4&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&2&4&8&1&2&4&8&1&2&4&8&1&2&4&8\\1&2&4&8&2&4&8&16&4&8&16&32&8&16&32&64\end{smallmatrix} }\Correcto]$ .

Resolviendo el sistema de ecuaciones algebraicas lineales resultante , se pueden encontrar los valores de forma explícita: $a_{{ij}}$

$\alpha ^{T}={\frac {1}{36}}\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&0&0&36&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&-12&0&0&0&-18&0&0&0&36&0&0&0&-6&0&0\\0&18&0&0&0&-36&0&0&0&18&0&0&0&0&0&0\\0&-6&0&0&0&18&0&0&0&-18&0&0&0&6&0&0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -12 & -18 & 36 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 4 & 6 & 6 & -12 18&3&-2&-3&6&-1\\0&0&0&0&18&-36&18&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-6&12&-6&0&-9&18&-9&0&18&-36&18&0&-3&6&-3&0\\9&-18&9&0&-18&36&-18&0&9&-18&9&0&0&0&0&0\\-3&6&-3&0&9&-18&9&0&-9&18&- 9&0&3&-6&3&0\\0&0&0&0&-6&18&-18&6&0&0&0&0&0&0&0&0\\2&-6&6&-2&3&-9&9&-3&-6&18&-18&6&1&-3&3&-1\\-3&9&-9&3&6&-18&18&-6&-3&3&3&9&-9 3&-1&3&-3&1\\\end{smallmatrix}}\right]\gamma ^{T}$ .

Una vez encontrados, los coeficientes ahora se pueden usar para calcular repetidamente el valor interpolado de la función en puntos arbitrarios del cuadrado . $a_{{ij}}$ $[0,1]\veces [0,1]$

Cabe señalar que este método asegura la continuidad de la función en sí y su segunda derivada en los límites de los cuadrados adyacentes, pero conduce a una ruptura de las primeras derivadas en los límites de las celdas de 4×4. Para asegurar la continuidad de la función en sí y su primera derivada, es necesario sustituir los valores de la función y los valores de las primeras derivadas en las direcciones x e y en los vértices de la celda central en el original expresión, las derivadas se calculan a través de diferencias centrales. Para sustituir derivadas, la expresión debe diferenciarse en consecuencia.

Interpolación cúbica secuencial

Otra interpretación del método es que para encontrar el valor interpolado, primero se puede realizar una interpolación cúbica en una dirección y luego en la otra.

Para una función con valores conocidos , , , puede construir una spline cúbica: , o en forma de matriz: $f(x)$ $f(-1)$ $f(0)$ $f(1)$ $f(2)$ $p(x)=\estilo de texto \sum _{{i=0}}^{3}b_{i}x^{i}$

$p(x)=\left[{\begin{pequeña matriz}1&x&x^{2}&x^{3}\end{pequeña matriz}}\right]\left[{\begin{pequeña matriz}b_{0}\\b_{ 1}\\b_{2}\\b_{3}\end{matriz pequeña}}\right]$ ,

dónde

$\left[{\begin{pequeña matriz}b_{0}\\b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pequeña matriz}}\right]=A\left[{\begin{pequeña matriz }f(-1)\\f(0)\\f(1)\\f(2)\end{matriz pequeña}}\right]$ ,

$A={\frac {1}{3}}\left[{\begin{pequeña matriz}0&6&0&0\\-2&-3&6&-1\\3&-6&3&0\\-1&3&-3&1\end{pequeña matriz}} \Correcto]$ .

Así, para encontrar el valor interpolado en el cuadrado , primero puedes calcular cuatro valores , , , para fijo , luego construir una spline cúbica a través de los cuatro puntos obtenidos, y así completar el cálculo : $p(x, y)$ $[0,1]\veces [0,1]$ $p(x,-1)$ $p(x,0)$ $p(x,1)$ $p(x,2)$ $X$ $p(x, y)$

$p(x,y)=\left[{\begin{smallmatrix}1&y&y^{2}&y^{3}\end{smallmatrix}}\right]A\left(\left[{\begin{smallmatrix }1&x&x^{2}&x^{3}\end{matriz pequeña}}\right]A\left[{\begin{matriz pequeña}&f(-1,-1)&f(0,-1)&f(1,- 1)&f(2,-1)\\&f(-1,0)&f(0,0)&f(1,0)&f(2,0)\\&f(-1,1)&f(0,1 )&f(1,1)&f(2,1)\\&f(-1,2)&f(0,2)&f(1,2)&f(2,2)\\\end{matriz pequeña}}\right ]\derecha)^{T}=$

$=\left[{\begin{smallmatrix}1&y&y^{2}&y^{3}\end{smallmatrix}}\right]A\left[{\begin{smallmatrix}f(-1,-1)&f(- 1,0)&f(-1,1)&f(-1,2)\\f(0,-1)&f(0,0)&f(0,1)&f(0,2)\\f(1 ,-1)&f(1,0)&f(1,1)&f(1,2)\\f(2,-1)&f(2,0)&f(2,1)&f(2,2)\ end{matrizpequeña}}\right]A^{T}\left[{\begin{matrizpequeña}1\\x\\x^{2}\\x^{3}\end{matrizpequeña}}\right]$ .

Cabe señalar que este enfoque asegura la continuidad de la función en sí y sus segundas derivadas en el límite de la celda, pero no asegura la continuidad de la primera derivada. Para asegurar la continuidad de la primera derivada, es necesario sustituir los valores de la función y sus primeras derivadas en el límite de la celda central. Entonces los coeficientes spline se verán así:

$\left[{\begin{pequeña matriz}b_{0}\\b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pequeña matriz}}\right]=B^{-1}}\ izquierda[{\begin{matriz pequeña}f(0)\\f(1)\\{\frac {f(1)-f(-1)}{2}}\\{\frac {f(2)- f(0)}{2}}\end{matriz pequeña}}\right]$ ,

$B=\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\1&1&1&1\\0&1&0&0\\0&1&2&3\end{smallmatrix}}\right],B^{{-1}}=\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0 \\0&0&1&0\\-3&3&-2&-1\\2&-2&1&1\end{matriz pequeña}}\right]$ .

Véase también

Literatura

R. Claves. Interpolación de convolución cúbica para procesamiento de imágenes digitales // Transacciones IEEE sobre acústica, voz y procesamiento de señales : diario. - 1981. - vol. 29 , núm. 6 _ - P. 1153-1160 . -doi : 10.1109/ TASSP.1981.1163711 .