Variación de visualización

La variación de visualización es una característica numérica de la visualización asociada a sus propiedades diferenciales.

El concepto de "variación de visualización" fue definido por S. Banach [1] .

Caso bidimensional

Considere la definición de una variación de mapeo para el caso bidimensional.

Deja que el mapeo

\alpha \colon x=f(u,\;v),\;y=\varphi (u,\;v),

donde y son funciones cuadradas continuas . Se dice que un mapeo tiene variación acotada si existe un número tal que para cualquier secuencia de cuadrados no superpuestos con lados paralelos a los ejes de coordenadas , la desigualdad ${\ estilo de visualización f (u, \; v)}$ ${\ estilo de visualización \ varphi (u, \; v)}$ $D_{0}=[0,\;1]\veces [0,\;1]$ $\alfa$ ${\ estilo de visualización M> 0}$ $D^{i}\subconjunto D_{0}\;(i=1,\;2,\;\ldots)$ $tu,\;v$

\sum _{i}\mathrm {mes} \,D_{xy}^{i}\leqslant M,

donde está la imagen del conjunto bajo el mapeo , ${\ Displaystyle D_ {xy}}$ $D^{i}\subconjunto D_{0}$ $\alfa$

$\mathrm {mes} \,D$ es la medida plana de Lebesgue del conjunto . $D$

El valor numérico de la variación de visualización se puede determinar de varias formas. Por ejemplo, si un mapeo tiene una variación limitada, entonces su variación puede determinarse mediante la fórmula: ${\ estilo de visualización V (\ alfa)}$ $\alfa$ ${\ estilo de visualización V (\ alfa)}$

V(\alpha )=\iint \limits _{-\infty }^{\quad +\infty }N(s,\;t)\,ds\,dt,

donde es el número de soluciones del sistema , o la llamada indicatriz de Banach del mapeo . ${\ estilo de visualización N (s, \; t)}$ $f(u,\;v)=s,\;\varphi (u,\;v)=t$ $\alfa$

Se demostró [2] que si una aplicación tiene una variación acotada, entonces casi en todas partes existe un jacobiano generalizado , donde , que es integrable en . Donde $\alfa$ $D_0$ ${\ estilo de visualización J (P)}$ ${\displaystyle P\subconjunto D_{0))$ $D_0$

J(P)\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\lim _{\mathrm {mes} \,K\to 0}{\frac {\mathrm {mes} \, K_{xy}}{\mathrm {mes} \,K}},

donde es un cuadrado que contiene un punto cuyos lados son paralelos a los ejes ; $K\subconjunto D_{0}$ ${\displaystyle P\subconjunto D_{0))$ $tu,\;v$

${\ Displaystyle K_ {xy}}$ es la imagen del conjunto ; $k$

$\mathrm {mes} \,K$ es la medida plana de Lebesgue del conjunto . $k$

Literatura

Lavrentiev, M. A., Shabat, B. V. Métodos de la teoría de funciones de una variable compleja. — M .: Nauka, 1987. — 688 p.
Griffiths, F. Sistemas diferenciales externos y cálculo de variaciones. — M .: Mir, 1986. — 360 p.
Kolmogorov, A. N., Fomin, S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - 7ª ed. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 572 p. — ISBN 5-9221-0266-4 . .

Notas

↑ Banach S. Fundamenta Mathematicae. - 1925. - t. 7. - pág. 225--236.
↑ Kudryavtsev L. D. Cuestiones métricas de la teoría de funciones y aplicaciones. - en. 1.- K., 1969.- pág. 34-108