Cantidad vectorial

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Una cantidad vectorial  es una cantidad física que es un vector ( un tensor de rango 1). Por un lado, se opone a los escalares (tensores de rango 0), por otro lado, a las cantidades tensoriales (en sentido estricto, a los tensores de rango 2 o más). También puede oponerse a ciertos objetos de una naturaleza matemática completamente diferente.

En la mayoría de los casos, el término vector se usa en física para denotar un vector en el llamado "espacio físico", es decir, en el espacio tridimensional habitual de la física clásica o en el espacio-tiempo tetradimensional [1] en la física moderna (en este último caso, el concepto de vector y cantidad vectorial coinciden con los conceptos de cuadrivector y cantidad cuadrivectorial).

Esto prácticamente agota el uso de la frase "cantidad vectorial". En cuanto al uso del término "vector", a pesar de la inclinación por defecto al mismo campo de aplicabilidad, en un gran número de casos todavía va mucho más allá de tales límites. Vea a continuación para obtener más información sobre esto.

Uso de los términos vector y cantidad vectorial en física

A pesar de que la comprensión del vector desde el punto de vista físico y matemático es prácticamente la misma, la especificidad terminológica aparece debido a diferentes grados de abstracción.

Con respecto a la física en matemáticas, el concepto de vector es redundante: cualquier vector puede tener cualquier naturaleza, espacio y dimensión infinitamente abstractos. Cuando se requieren detalles, es necesario especificar en detalle o tener en cuenta el contexto descrito explícitamente, lo que a menudo genera confusión.

En física, sin embargo, casi siempre estamos hablando no de objetos matemáticos (que tienen ciertas propiedades formales) en general, sino de su enlace "físico" específico, específico. Considerando estas consideraciones de concreción con consideraciones de brevedad y conveniencia, uno puede entender que la práctica terminológica en física difiere marcadamente de la práctica matemática. Sin embargo, no entra en una clara contradicción con este último. Esto se puede lograr de varias maneras simples. En primer lugar, es una convención que existe algún uso del término predeterminado, en un contexto implícito. Entonces, en física, a diferencia de las matemáticas, la palabra vector generalmente se entiende no como "un vector de cualquier espacio lineal en general", sino en primer lugar como un vector que está asociado con el "espacio físico ordinario" (espacio tridimensional de la física clásica). o espacio-tiempo cuatridimensional [2] física relativista). Para vectores de espacios que no están directa y directamente relacionados con el "espacio físico" o el "espacio-tiempo", solo use nombres especiales (a veces incluyendo la palabra "vector", pero con aclaración). Si se introduce en la teoría un vector de algún espacio que no está directa y directamente relacionado con el "espacio físico" o el "espacio-tiempo" (y que es difícil de caracterizar inmediatamente de una manera definida), a menudo se lo describe específicamente como un "vector abstracto".

Todo lo anterior, incluso más que el término "vector", se aplica al término "cantidad vectorial". El valor predeterminado en este caso implica aún más claramente un vínculo con el "espacio ordinario" o el espacio-tiempo, y casi nunca se encuentra el uso de espacios vectoriales abstractos en relación con los elementos (al menos, es una excepción muy rara).

En física, los vectores con mayor frecuencia (y las cantidades vectoriales, casi siempre) se denominan vectores de dos clases similares:

  1. En la física clásica (mecánica clásica, electrodinámica en la formulación tridimensional clásica y en otras áreas de la física, principalmente formada antes del comienzo del siglo XX), las cantidades vectoriales o simplemente vectores se denominan generalmente vectores del espacio tridimensional ordinario, que es decir, vectores "geométricos" ordinarios o, por serlo, pueden diferir de ellos por un factor escalar (incluido un factor dimensional). Aunque en estas áreas de la física se usaron varios objetos identificados por las matemáticas modernas como vectores, en la terminología física esto recibió una respuesta muy pequeña (por ejemplo, la transformada de Fourier en la electrodinámica clásica y la teoría clásica de los continuos se usa muy intensamente, pero tradicionalmente casi no se considera en el contexto clásico con el uso de la palabra "vector" en relación a funciones, aunque desde un punto de vista matemático sería bastante legal [3] ). Quizás la única excepción notable a la regla es el funcionamiento bastante libre de los vectores de los elementos de los espacios de fase o configuración [4] .
  2. en la física relativista [5] (comenzando con Poincaré, Planck y Minkowski) y, en gran medida, en la física teórica moderna, los vectores y las cantidades vectoriales se entienden principalmente como vectores del espacio-tiempo de cuatro dimensiones [6] y están directamente relacionados con it (que difieren por el multiplicador escalar de los 4 vectores de desplazamiento) son 4 vectores .
  3. en la mecánica cuántica, la teoría cuántica de campos, etc., la palabra "vector" también se ha utilizado de forma estándar para referirse a un objeto como un vector de estado . Este vector puede tener, en principio, cualquier dimensión y, por regla general, es de dimensión infinita. Sin embargo, prácticamente no hay confusión, ya que la palabra vector se usa aquí exclusivamente en una combinación estable vector de estado , y nunca por separado, excepto quizás en casos en los que el contexto ya es tan obvio que la confusión es simplemente imposible (por ejemplo, cuando un solo vector de palabra se usa repetidamente en relación con un objeto, que justo antes se denominó vector de estado o usando designaciones específicas inequívocas, como corchetes de Dirac , o sus términos correspondientes. Las palabras especiales se usan para una serie de vectores de espacios específicos (como como, por ejemplo, espinores ) o nombres explícitos (vector de espacio de color, espín isotópico). Además, la frase "cantidad vectorial" casi nunca se aplica a tales vectores abstractos. Todo esto permitió que el término "vector" conservara, quizás, su significado principal - el significado del vector 4. Es este el significado está incrustado en los términos campo vectorial , vector th partícula ( bosón vectorial , mesón vectorial ). La palabra "escalar" también tiene un significado conjugado en tales términos .


Ejemplos de cantidades físicas vectoriales: velocidad , fuerza , flujo de calor .

Génesis de cantidades vectoriales

¿Cómo se relacionan las "cantidades vectoriales" físicas con el espacio? En primer lugar, llama la atención que la dimensión de las cantidades vectoriales (en el sentido habitual del uso de este término, que se explica más arriba) coincide con la dimensión del mismo espacio "físico" (y "geométrico"), por ejemplo , el espacio es tridimensional y los campos vectoriales eléctricos son tridimensionales. Intuitivamente, uno también puede notar que cualquier cantidad física vectorial, no importa cuán vaga sea su conexión con la extensión espacial habitual, sin embargo tiene una dirección bastante definida en este espacio ordinario.

Sin embargo, resulta que se puede lograr mucho más al "reducir" directamente todo el conjunto de cantidades vectoriales de la física a los vectores "geométricos" más simples, o más bien, incluso a un vector: el vector de desplazamiento elemental, pero sería más correcto decir, derivándolos todos de él.

Este procedimiento tiene dos implementaciones diferentes (aunque esencialmente se repiten en detalle) para el caso tridimensional de la física clásica y para la formulación tetradimensional del espacio-tiempo común a la física moderna.

El clásico caso tridimensional

Partiremos del habitual espacio "geométrico" tridimensional en el que vivimos y podemos movernos.

Tomemos como vector inicial y ejemplar el vector desplazamiento infinitesimal. Es bastante obvio que este es un vector "geométrico" regular (así como un vector de desplazamiento finito).

Ahora notamos de inmediato que multiplicar un vector por un escalar siempre da un nuevo vector. Lo mismo puede decirse de la suma y diferencia de vectores. En este capítulo, no haremos una distinción entre vectores polares y axiales [7] , por lo que notamos que el producto vectorial de dos vectores también da un nuevo vector.

Además, el nuevo vector da la diferenciación de un vector con respecto a un escalar (ya que tal derivada es el límite de la razón de la diferencia de vectores a un escalar). Esto se puede decir más acerca de los derivados de todos los órdenes superiores. Lo mismo es cierto para la integración sobre escalares (tiempo, volumen).

Ahora observamos que, a partir del radio vector r o del desplazamiento elemental d r , comprendemos fácilmente que los vectores son (dado que el tiempo es un escalar) cantidades cinemáticas tales como

A partir de la velocidad y la aceleración, multiplicadas por un escalar (masa), aparecen

Como ahora también estamos interesados ​​en los pseudovectores, observamos que

Continuando con este procedimiento, encontramos que todas las cantidades vectoriales conocidas por nosotros están ahora no solo intuitivamente sino también formalmente ligadas al espacio original. Es decir, todos ellos son, en cierto sentido, sus elementos, ya que se expresan en esencia como combinaciones lineales de otros vectores (con factores escalares, posiblemente dimensionales, pero escalares, y por tanto formalmente bastante legales).

El moderno caso de cuatro dimensiones

El mismo procedimiento se puede hacer a partir de un desplazamiento en cuatro dimensiones. Resulta que todas las cantidades de 4 vectores "provienen" del desplazamiento de 4, siendo por lo tanto, en cierto sentido, los mismos vectores de espacio-tiempo que el desplazamiento de 4 en sí.

Tipos de vectores en relación con la física

Notas

  1. ↑ En muchas teorías modernas, la dimensión del espacio-tiempo fundamental es mayor que 4; sin embargo, en principio, esto cambia bastante, además, ninguna de estas teorías ha alcanzado aún el estatus de generalmente aceptada y suficientemente confirmada.
  2. ↑ En muchas teorías modernas, por ejemplo, en la teoría de cuerdas , el espacio-tiempo no es de 4 dimensiones, sino que tiene más dimensiones, sin embargo, a menudo es una generalización bastante directa y simple de su prototipo de 4 dimensiones, y la posibilidad de la confusión está prácticamente excluida por el contexto de estas teorías mismas (sin mencionar el hecho de que la dimensión a menudo se indica explícitamente y, además de la dimensión, no se asumen diferencias con el espacio-tiempo habitual).
  3. ↑ Para evitar contradicciones entre la terminología física y matemática, existe una forma: en lugar de la expresión "vector de tal o cual espacio", puede usar un sinónimo: "elemento de tal o cual espacio". Matemáticamente es completamente equivalente, pero no crea confusión cuando se usa junto con las tradiciones terminológicas propias de la física.
  4. ↑ es difícil decir a qué sirvió esto en mayor medida: el hecho de que estos espacios (especialmente los de configuración) parezcan una generalización demasiado directa del espacio físico ordinario, en casos particulares, simplemente coincidiendo este último, o que el La mecánica teórica en la que surgieron estos conceptos se considera rama no de la física, sino de las matemáticas.
  5. ↑ La física relativista aquí se refiere principalmente a la formulación estándar de 4 dimensiones de la mecánica relativista, la electrodinámica y otras teorías. En principio, esta formulación se utiliza tanto para las teorías cuánticas como para las no cuánticas.
  6. ↑ La salida más obvia de este marco por defecto (es decir, sin marcadores terminológicos especiales) son las teorías ya mencionadas, basadas en la suposición de una dimensión mayor a 4 del espacio-tiempo físico fundamental, a partir de la teoría de Kaluza , a la teoría de cuerdas, etc. d.
  7. ↑ Si es necesario, tal división es fácil de hacer, pero ahora nos interesa la primera construcción del conjunto más completo de cantidades físicas vectoriales, y no su clasificación, y nos centraremos en esto.
  8. ↑ Para la velocidad angular, sin embargo, es más fácil aplicar el razonamiento inverso: dado que el vector producto de la velocidad angular y el radio vector es la velocidad, entonces la velocidad angular es un vector (más precisamente, un pseudovector).