Límite de secuencia parcial

El límite parcial de una secuencia es el límite de una de sus subsecuencias, si existe. Para sucesiones numéricas convergentes, el límite parcial coincide con el límite habitual debido a la unicidad de este último, pero en el caso más general, una sucesión arbitraria puede tener desde cero hasta una infinidad de límites parciales diferentes. Además, si el límite habitual caracteriza el punto al que se acercan los elementos de la sucesión con un número creciente, entonces los límites parciales caracterizan los puntos cerca de los cuales hay un número infinito de elementos de la sucesión.

Dos casos especiales importantes del límite parcial son los límites superior e inferior.

Definiciones

El límite parcial de una sucesión es el límite de cualquiera de sus subsucesiones , si hay al menos una subsucesión que tenga límite. En caso contrario, se dice que la sucesión no tiene límites parciales. En alguna literatura, en los casos en que es posible seleccionar una subsecuencia infinitamente grande de una secuencia, cuyos elementos son simultáneamente positivos o negativos, su límite parcial se denomina, respectivamente , o . $+\infty$ $-\infty$

El límite inferior de una sucesión es el mínimo mínimo del conjunto de límites parciales de la sucesión.

El límite superior de una secuencia es el límite superior mínimo del conjunto de límites parciales de la secuencia.

A veces, el límite inferior de una secuencia es el más pequeño de sus puntos límite y el límite superior es el más grande. [1] Estas definiciones son equivalentes, ya que la cara exacta del conjunto de puntos límite pertenece necesariamente a este conjunto.

Notación

Límite de secuencia inferior : $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$

$\varliminfo _{{n\to \infty}}x_{n}$ (en la literatura nacional);

$\liminfo _{{n\to \infty}}x_{n}$ (en la literatura extranjera).

Límite de secuencia superior : $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$

$\varlimsup _{{n\to \infty}}x_{n}$ (en la literatura nacional);

$\limsup _{{n\to \infty}}x_{n}$ (en la literatura extranjera).

Ejemplos

$\varliminf_{n\to \infty} {\frac {1}{n}}=\varlimsup_{n\to \infty}}{\frac {1}{n}}=\lim_{n \a \infty }{\frac {1}{n}}=0$

$\varliminf _{{n\to \infty }}\left(-1\right)^{n}=-1$

$\varlimsup _{{n\to \infty }}\left(-1\right)^{n}=+1$

$\nexiste \varliminf _{{{n\to \infty }}n,\nexiste \varlimsup_{{n\to \infty }}n$ (en otra terminología, ambos límites son iguales ) $+\infty$

Propiedades

Un límite parcial de una sucesión sólo puede ser su punto límite y, a la inversa, cualquier punto límite de una sucesión es parte de su límite parcial. En otras palabras, los conceptos "límite parcial de una sucesión" y "punto límite de una sucesión" son equivalentes a [a] .
Cualquier sucesión acotada tiene límites superior e inferior (en el conjunto de números reales ). Si también consideramos los valores admisibles del límite parcial, entonces los límites superior e inferior existen en general para cualquier secuencia numérica. $-\infty$ $+\infty$
Una sucesión numérica converge a si y sólo si . $\{x_n\}$ $a$ $\varliminf_{{n\rightarrow \infty}}{x_{{n}}}=\varlimsup_{{n\rightarrow \infty}}{x_{{n}}}=a$
Para cualquier número positivo tomado de antemano, todos los elementos de la secuencia numérica limitada , a partir de algún número que depende de , se encuentran dentro del intervalo . $\varepsilon$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $\varepsilon$ $\left(\varliminf_{{n\to \infty}}x_{n}-\varepsilon,\varlimsup_{{n\to \infty}}x_{n}+\varepsilon \right)$
Si sólo un número finito de elementos de una secuencia numérica limitada se encuentran fuera del intervalo , entonces el intervalo está contenido en el intervalo . $\izquierda(a,b\derecha)$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $\left(\varliminf_{{n\to \infty}}x_{n},\varlimsup_{{n\to \infty}}x_{n}\right)$ $\izquierda(a,b\derecha)$
El conjunto de límites parciales es cerrado.

Notas

Comentarios

↑ Debe recordarse que un elemento que ocurre en una secuencia un número infinito de veces es un punto límite de esta secuencia (a diferencia de un punto límite de un conjunto).

Fuentes

↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Capítulo 3. Teoría de Límites // Análisis Matemático / Ed. A. N. Tijonova . - 3ra ed. , revisado y adicional - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 92 - 105. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .