Subsecuencia

En matemáticas , una secuencia es un conjunto numerado de algunos objetos, entre los cuales se permiten repeticiones, y el orden de los objetos importa. La numeración ocurre con mayor frecuencia con los números naturales . Para casos más generales, consulte Variaciones y generalizaciones .

En este artículo, se supone que la secuencia es infinita; los casos de una secuencia finita se especifican por separado.

Ejemplos

Ejemplos de secuencias numéricas:

Un ejemplo de secuencia finita sería una secuencia de casas en una calle.
Un polinomio en una variable puede considerarse como una secuencia finita de sus coeficientes, o infinita bajo el supuesto de . ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\puntos +a_{n}x^{n))$ $a_{i}=0$ ${\ estilo de visualización i> n}$
La secuencia de números primos es una de las secuencias de números infinitos no triviales más conocidas .
Cada número real puede estar asociado con su propia secuencia, llamada fracción continua ; además, para los números racionales siempre es finito, para los números irracionales algebraicos es infinito (para las irracionalidades cuadráticas es periódica ), y para los números trascendentales es infinito y no periódica, aunque los números individuales pueden ocurrir en ella un número infinito de veces. Por ejemplo, la fracción continua de un número es finita y es igual a , y la fracción continua de un número ya es infinita, no periódica y se ve así: . ${\frac{13}{9}}$ ${\ estilo de visualización [1; 2,4]}$ $\Pi$ ${\ estilo de visualización [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1, 1,15,\puntos]}$
En geometría , a menudo se considera una secuencia de polígonos regulares cuya forma depende únicamente del número de vértices.
La secuencia puede incluso constar de conjuntos; por ejemplo, puede componer una secuencia en la que la -ésima posición contiene el conjunto de todos los polinomios de grado con coeficientes enteros en una variable. $norte$ $norte$

Secuencia numérica

Definición estricta

Sea dado algún conjunto de elementos de naturaleza arbitraria. $X$

Cualquier mapeo del conjunto de números naturales en un conjunto dado se llama secuencia [1] (de elementos del conjunto ). $f\colon {\mathbb {N}}\to X$ $\matemáticas {N}$ $X$ $X$

Notación

Secuencias de la forma

{\ estilo de visualización x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ puntos}

Es costumbre escribir de forma compacta usando paréntesis:

(x_{n})

o .

(x_{n})_{{n=1}}^{{\infty}}

A veces se utilizan llaves:

\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}

Las secuencias finales se pueden escribir de la siguiente forma:

(x_{n})_{{n=1}}^{N}

La sucesión también se puede escribir como

{\ estilo de visualización (f (n))}

si la función se ha definido antes, o su notación puede ser reemplazada por la función misma. Por ejemplo, para , la secuencia se puede escribir como . $F$ ${\ Displaystyle f (n) = n ^ {3))$ $(n^{3})$

Definiciones relacionadas

La imagen de un número natural , es decir, el elemento , se llama el -ésimo miembro de la sucesión , y el número ordinal del miembro de la sucesión se llama su índice . $norte$ $x_{n}=f(n)$ $norte$ $norte$ $x_{n}$
El subconjunto del conjunto , que está formado por los elementos de la secuencia, se denomina portador de la secuencia : mientras que el índice recorre el conjunto de los números naturales, el punto que "representa" a los miembros de la secuencia "se mueve" a lo largo de la secuencia. transportador. $f\izquierda[{\mathbb {N}}\derecha]$ $X$
Una subsecuencia de una secuencia es una secuencia que depende de , donde es una secuencia creciente de números naturales. Se puede obtener una subsecuencia de la secuencia original eliminando algunos miembros de ella. $(x_{n})$ $k$ $(x_{{n_{k}}})$ $(n_{k})$

Notas

Cualquier mapeo de un conjunto a sí mismo también es una secuencia. $\matemáticas {N}$
La secuencia de elementos de un conjunto puede considerarse como un subconjunto ordenado , isomorfo al conjunto de los números naturales . $X$ $X$

Formas de especificar secuencias numéricas

Analítico , donde la fórmula define la secuencia del término n, por ejemplo: $a_{n}={\frac{n}{n+1))$
Recurrente , por ejemplo , números de Fibonacci , donde cualquier miembro de la secuencia se expresa en términos de los anteriores: ${\displaystyle a_{1}=0,a_{2}=1,a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1))$
verbal ; Por ejemplo , para cualquier fracción decimal infinita, puede construir una secuencia de sus aproximaciones decimales en términos de deficiencia o exceso, redondeando la fracción hacia arriba o hacia abajo en cada iteración.

Secuencia de acciones

“Un algoritmo es una secuencia estricta y lógica de acciones para resolver un problema (matemático, informativo, etc.).” [3] [4]

Sucesiones en matemáticas

En matemáticas , se consideran varios tipos de sucesiones:

secuencias numéricas ;
secuencias de elementos de un espacio métrico ;
series temporales de naturaleza tanto numérica como no numérica;
secuencias de elementos del espacio funcional ;
secuencias de estados de sistemas de control y autómatas .

Prácticamente tareas importantes que surgen en el estudio de secuencias:

Averiguar si la sucesión dada es finita o infinita. Por ejemplo, se conocen 51 números primos de Mersenne para 2020 , pero no se ha demostrado que no existan más números de este tipo.
Buscar patrones entre los miembros de la secuencia.
Busque una fórmula analítica que pueda servir como una buena aproximación para el -ésimo miembro de la secuencia. Por ejemplo, para el enésimo número primo, una buena aproximación viene dada por la fórmula: (las hay más precisas). $norte$ $norte$ ${\ estilo de visualización n \ ln (n)}$
Predicción de estados futuros, preguntando principalmente si una secuencia dada converge a un límite finito o infinito , numérico o no numérico , según el tipo de conjunto. $($ ${\ estilo de visualización X).}$

Variaciones y generalizaciones

Los miembros de la secuencia no tienen que estar numerados por números naturales ; por ejemplo, la secuencia de Fibonacci se puede extender a números enteros negativos .
También existen las denominadas sucesiones multidimensionales numeradas por elementos del producto cartesiano . Estos incluyen, por ejemplo, la extensión multidimensional de la secuencia Thue-Morse . También , un polinomio en varias variables puede ser considerado como una secuencia de dimensión finita, donde la posición es el coeficiente del producto . $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\puntos x_{n-1},x_{n))$ $norte$ ${\displaystyle i_{1},i_{2},\dots i_{n-1},i_{n))$ $x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\puntos x_{n-1}^{i_{n-1}}x_{n}^{i_{ norte}}$

Véase también

Notas

↑ Secuencia // Enciclopedia Matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1984. - T. 4. - S. 506-507.
↑ Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas: Materiales de referencia . - Moscú: Educación, 1988. - 416 p. (Ruso)
↑ Diccionario explicativo / ed. D. V. Dmitrieva. - AST, Lingua, Astrel, 2003. - 1584 p. - ISBN 5-17-016483-1 , 5-271-05995-2.
↑ IG Semakin, AP Shestakov. fundamentos de algoritmización y programación . - Moscú: Centro Editorial "Academia", 2016. - S. 10. - 303 p. — ISBN 978-5-4468-3155-5 . Archivado el 21 de enero de 2022 en Wayback Machine .

Literatura

Secuencia // Diccionario enciclopédico de un joven matemático / Comp. A. P. Savin. - M .: Pedagogía , 1985. - S. 242 -245. — 352 págs.

Secuencias y filas
Secuencias	Secuencia numérica Secuencia fundamental Secuencia recurrente lineal números de Fibonacci números rizados Factorial Secuencia de ladrón secuencia de bruijn
Filas, básico	Suma de fila El resto de la fila Convergencia Condicional serie alterna Fila multisección
Series numéricas ( operaciones con series numéricas )	serie armónica Serie de Leibniz Una serie de cuadrados inversos. Una serie de números primos recíprocos. Fila de Dirichlet serie Mercator Fila Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
filas funcionales	Serie Taylor serie laurent series de Fourier Serie trigonométrica de Fourier serie trigonométrica serie de salchichas
Otros tipos de fila	serie de Neumann Fila de puiseux