Generador de grupos

El generador de grupos ( operador infinitesimal ) es un concepto utilizado en la teoría de grupos de Lie . Los generadores de un grupo son los elementos que forman la base de su álgebra de Lie , o, en el caso general, la base del álgebra de Lie de la imagen de un grupo . $GRAMO$ $GRAMO$

El generador es la derivada del operador (o matriz) de representación de un elemento de grupo respecto de algún parámetro de representación con valor cero de todos los parámetros (se supone, sin pérdida de generalidad, que con valores cero de los parámetros, el operador que representa el elemento dado es igual al operador de identidad y corresponde al elemento de identidad del grupo). La representación de un elemento de grupo arbitrario lo suficientemente cercano al elemento de identidad se expresa de forma lineal en términos de generadores de grupo (los generadores son términos de primer orden en la expansión del operador de representación en una serie de potencias en términos de parámetros). Además, bajo ciertos supuestos débiles, cualquier elemento del grupo (su representación) puede expresarse en términos de generadores, ya que los términos de segundo orden y superiores se expresan nuevamente en términos de generadores. Para una cierta clase de grupos de Lie conectados, cualquier elemento del grupo se puede representar usando un mapeo exponencial en la forma . En particular, tal representación es válida para grupos conmutativos simplemente conectados: las propiedades del grupo en este caso obviamente se derivan de la identidad para operadores conmutativos y . Si los generadores no conmutan, entonces la representación exponencial de los elementos del grupo, en términos generales, es válida solo localmente en una vecindad suficientemente pequeña de la identidad del grupo, incluso si el grupo está conectado. $\exp(A_{1}\alpha _{1}+\cdots +A_{n}\alpha _{n})$ $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)$ $A$ $B$

Definición de concepto

Deje que un elemento arbitrario del grupo tenga una representación paramétrica (función de operador de parámetros, los operadores actúan en algún espacio vectorial), y el elemento de identidad del grupo corresponde al valor de la función de operador en valores cero de los parámetros . Entonces los generadores del grupo son las cantidades: $GRAMO$ $s$ $g(\alpha )=g(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{s})$ $s$ ${\ estilo de visualización g (0)}$

A_{k}=\left.{\frac {\parcial g(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{s})}{\parcial \alpha _{k))}\right \vert _{\alfa =\,0}

Luego, un elemento arbitrario de la vecindad bajo consideración (donde los parámetros son naturalmente pequeños) puede expandirse cerca de la transformación de identidad hasta términos del segundo orden de pequeñez: ${\ estilo de visualización g (\ alfa _ {1}, \ puntos, \ alfa _ {s})}$ $\alpha _{k}$

g(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{s})=1+\sum _{k=1}^{s}A_{k}\alpha _{k}+O( \sum _{k,\,j=1}^{s}\alpha _{k}\alpha _{j}),

Álgebra de mentira. Mapeo Exponencial

Sea el grupo un grupo de Lie conectado: un grupo de transformaciones que dependen de un conjunto finito de parámetros para que cualquier elemento del grupo pueda conectarse al elemento de identidad por un camino que se encuentra completamente dentro de este grupo. Denotemos los generadores del grupo. Entonces se puede demostrar que generan un álgebra de Lie con la relación de conmutación: $T(\alfa )$ $ejército de reserva}$

[t_{b},t_{c}]=iC_{{bc}}^{a}t_{a}

donde están las llamadas constantes de estructura del álgebra de Lie (también llamadas "constantes estructurales del grupo"). $C_{{bc}}^{a}$

Prueba

La ley de grupo de la multiplicación tiene la forma:

T(\alfa )T(\beta )=T(f(\alfa ,\beta ))

donde es alguna función. Dado que el vector de parámetros cero se toma como las "coordenadas" del elemento identidad, esta función debe tener las propiedades . Además, esta función se puede expandir en una serie de potencias: $F$ $f^{a}(\alfa ,0)=f^{a}(0,\alfa )=\alfa^{a}$

f^{a}(\alpha ,\beta )=\alpha ^{a}+\beta ^{a}+f_{bc}^{a}\alpha ^{b}\beta ^{c} +\puntos

además, los términos proporcionales a los cuadrados de los parámetros violarían la propiedad anterior de esta función, por lo que están ausentes en la expansión.

Que se dé la representación del grupo . Se puede expandir en alguna vecindad de cero en términos de parámetros en la forma de la siguiente serie (agregamos una unidad imaginaria para el enfoque utilizado en física): $U(T(\alfa ))$

U(T(\alpha ))=1+i\alpha ^{a}t_{a}+1/2\alpha ^{b}\alpha _{c}t_{bc}+\dots

donde son operadores independientes de los parámetros . $t_{a},t_{{bc}}$ $\alfa$

Si la representación es unitaria, los operadores (generadores del grupo) son hermitianos. Se supone que la representación es no proyectiva, es decir ordinaria, y por tanto podemos escribir: $tu$ $ejército de reserva}$

U(T(\alpha ))U(T(\beta ))=U(T(f(\alpha ,\beta ))

El lado izquierdo de esta razón es:

(1+i\alpha ^{a}t_{a}+1/2\alpha ^{b}\alpha _{c}t_{bc}+puntos)*(1+i\beta ^{a }t_{a}+1/2\beta ^{b}\beta _{c}t_{bc}+...)=1+i(\alpha ^{a}+\beta ^{a})t_ {a}-\alfa ^{b}\beta _{c}t_{b}t_{c}+\puntos

El lado derecho se puede representar de la siguiente manera (usando la descomposición de la representación y la descomposición de la función f):

1+i(\alpha ^{a}+\beta ^{a}+f_{bc}^{a}\alpha ^{b}\beta _{c}+puntos)t_{a}+1 /2(\alfa ^{b}+\beta ^{b}+...)(\alfa ^{c}+\beta ^{c}+...)t_{bc}+...=1 +i(\alfa ^{a}+\beta ^{a})t_{a}+f_{bc}^{a}\alfa ^{b}\beta _{c}t_{a}+\alfa ^ {b}\beta _{c}t_{bc}+...

donde los términos no mixtos de segundo orden se omiten debido a su obvia coincidencia con el lado izquierdo. Obviamente, los términos de primer orden también coinciden. Las relaciones para términos mixtos de segundo orden resultan no triviales. Es decir, para la igualdad de las partes izquierda y derecha de la condición de grupo para la representación de U, se debe satisfacer la relación:

t_{{bc}}=-t_{b}t_{c}-if_{{bc}}^{a}t_{a}

Así, el operador de segundo orden para descomponer la representación de un grupo resultó estar expresado en términos de operadores de primer orden, es decir, en términos de generadores de grupos. Sin embargo, la consistencia total requiere que el operador sea simétrico con respecto a los índices. Usando la expresión en términos de generadores, el requisito de simetría significa: $t_{{bc}}$

0=t_{{cb}}-t_{{bc}}=(t_{b}t_{c}-t_{c}t_{b})-i(f_{{cb}}^{a}-f_ {{bc}}^{a})t_{a}

De aquí obtenemos la expresión para el conmutador de grupos generadores:

[t_{b},t_{c}]=iC_{{bc}}^{a}t_{a}

donde están las llamadas constantes de estructura del grupo. $C_{{bc}}^{a}=f_{{cb}}^{a}-f_{{bc}}^{a}$

Tal conjunto de relaciones de conmutación es el álgebra de Lie. Así, los generadores de grupos generan un álgebra de Lie.

Estas relaciones de conmutación son la única condición que garantiza la expresión recursiva de los operadores que aparecen en la expansión de la representación del grupo en términos de segundo orden y superior. Por lo tanto, todos los términos de expansión se pueden expresar en términos de generadores. Esto significa que los operadores de representación de grupo, al menos en alguna vecindad del elemento de identidad, pueden expresarse únicamente en términos de generadores de grupo.

En un caso particular, cuando , las relaciones de conmutación muestran que los generadores conmutan en pares: . Tal grupo es abeliano. Para tal grupo, es posible expresar operadores de representación de grupo a través de generadores $C_{{bc}}^{a}=0$ $[t_{b},t_{c}]=0$

U(T(\alpha ))=e^{{i\alpha ^{a}t_{a}}}

Tal mapeo de un álgebra de Lie a un grupo de Lie se llama mapeo exponencial.

Prueba

En tal grupo ; por lo tanto Por lo tanto, podemos escribir la siguiente relación de grupo: $f(\alfa,\beta)=\alfa +\beta$ $f(\alpha /n,\alpha /n,dots,\alpha /n)=\sum _{n}\alpha /n=\alpha$

U(T(\alpha ))=U(T(\alpha /n))^{n}

;

para suficientemente grande se puede usar la representación infinitesimal debido a la pequeñez de . Obtenemos $norte$ $\alfa /n$

U(T(\alpha ))=(1+i/n\alpha ^{a}t_{a})^{n}

Pasando al límite con respecto a , obtenemos la expresión deseada para la representación del grupo para parámetros arbitrarios en términos del exponente $norte$

U(T(\alpha ))=e^{{i\alpha ^{a}t_{a}}}

Ejemplos de generadores

La unidad imaginaria es la generadora del grupo U(1) .
Las matrices de Pauli son generadoras del grupo unitario especial SU(2).
Las matrices de Gell-Mann son generadoras del grupo unitario especial SU(3).

Enlaces

V. S. Zamiralov "Conceptos básicos de la teoría de grupos y sus representaciones y algunas aplicaciones a la física de partículas" en el sitio web de SINP MSU .