Grupo unitario especial

Un grupo unitario especial es un grupo de matrices unitarias de un orden dado con determinante igual a 1 y el producto de matrices como operación de grupo; para matrices, el tamaño se denota por . $n\veces n$ ${\ matemáticas {SU}} (n)$

Un grupo unitario especial es un subgrupo del grupo unitario que consta de todas las matrices unitarias . ${\ matemáticas U} (n)$ $n\veces n$

Generadores

SU(2)

Para un grupo, los generadores se conocen como matrices de Pauli : ${\matemáticas {SU}}(2)$

\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}

\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

SU(3)

Las matrices de Pauli para son análogas a las matrices de Gell-Mann : ${\ matemáticas {SU}} (3)$

$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{{\sqrt {3)))){\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}$

Los generadores de se definen usando la relación: ${\ matemáticas {SU}} (3)$ $T$

T_{a}={\frac{\lambda_{a}}{2}}

Están sujetos a las siguientes relaciones:

$\left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum_{{c=1}}^{8}{f_{{abc}}T_{c}}$ , donde es una constante estructural , cuyos valores son iguales a: $F$

f_{{123}}=1

f_{{147}}=f_{{165}}=f_{{246}}=f_{{257}}=f_{{345}}=f_{{376}}={\frac{1}{2 }}

f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}

;

$\nombre del operador {tr}(T_{a})=0$ .

SU(4)

Los generadores de matrices hermitianas para , similares a las matrices de Pauli y las matrices de Gell-Mann , tienen la forma: ${\ matemáticas {SU}} (4)$

$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0&0\\i&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i&0\\0&0&0&0\\i&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-i&0\\0&i&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{{\sqrt {3)))){\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-2&0\\0&0&0&0\end{pmatrix))$	$\lambda _{9}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{{10}}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\i&0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{{11}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{{12}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&-i\\0&0&0&0\\0&i&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{{13}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{{14}}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-i\\0&0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{{15}}={\frac {1}{{\sqrt {6}}}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}$

Estas matrices son ortogonales y también satisfacen la expresión de traza :

Tr{(\lambda _{k}^{2})}=2;k=1..15

y la identidad de Jacobi :

[[\lambda_{l},\lambda_{k}],\lambda_{j}]+[[\lambda_{k},\lambda_{j}],\lambda_{l}]+ [[\lambda _{j},\lambda _{l}],\lambda _{k}]=0;j<k<l;j,k,l=1..15

En este caso, el cambio se calcula como:

[\lambda _{j},\lambda _{k}]=2i\sum _{m}f_{{jkl}}\lambda _{l}

Tabla de constantes estructurales $f_{{jkl}}$

f_{{1,2,3}}=1

f_{{1,4,7}}=f_{{2,4,6}}=f_{{2,5,7}}=f_{{3,4,5}}=f_{{1,9 ,12}}=f_{{2,9,11}}=f_{{2,10,12}}=f_{{3,9,10}}=f_{{4,9,14}}=f_ {{5,10,14}}=f_{{6,11,14}}=f_{{7,11,13}}=f_{{7,12,14}}={\frac 12}

f_{{1,5,6}}=f_{{3,6,7}}=f_{{1,10,11}}=f_{{3,11,12}}=f_{{4,10 ,13}}=f_{{6,12,13}}=-{\frac 12}

f_{{4,5,8}}=f_{{6,7,8}}=f_{{8,9,10}}=f_{{8,11,12}}=f_{{9,10 ,15}}=f_{{11,12,15}}=f_{{13,14,15}}={\frac {{\raíz cuadrada {3}}}2}

f_{{8,13,14}}=-{\frac {{\raíz cuadrada {3}}}2}

Literatura

Halzen, Francisco; Martín, Alan. Quarks y leptones: un curso de introducción a la física de partículas moderna . - John Wiley & Sons , 1984. - ISBN 0-471-88741-2 .
Ziman J. Teoría cuántica moderna. — M.: Mir, 1971. — 288 p.
Isaev A.P., Rubakov V.A. Teoría de grupos y simetrías. grupos finales. Lie grupos y álgebras. - M. : URSS, 2018. - 491 p.

Enlaces

Física 558 - Clase 1, invierno de 2003

Véase también

Grupo ortogonal especial

teoría de grupos
Conceptos básicos	Subgrupo subgrupo normal Grupo de factores Trabajar directo semidirecto libre
Propiedades algebraicas	grupo conmutativo grupo cíclico grupo ordenado Transformar grupo Grupo solucionable Lema de Schreier teorema de lagrange teoremas de Sylow Clasificación de grupos finitos simples
grupos finitos	Grupo cíclico finito C n Grupo simétrico S n Grupo diedro D n Grupo alternado A n Grupo Cuádruple Klein grupos de Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Grupos Conway Co 1 Co2_ _ Co3 _ grupos janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupos de pescadores F22 _ F 23 F24 _ Monstruo (M)
Grupos topológicos	grupos de mentiras Grupo ortogonal O(n) Grupo ortogonal especial SO(n) Grupo unitario U(n) Grupo unitario especial SU(n) Grupo simpléctico Sp(n) Simple excepcional grupo lorentz grupo de poincaré
Algoritmos en grupos	Schreier - Los Sims Todd - Coxeter Transformada de Fourier