Hipótesis de Birch-Swinnerton-Dyer

La Hipótesis de Birch-Swinnerton-Dyer es una hipótesis matemática sobre las propiedades de las curvas elípticas , uno de los Problemas del Milenio , para cuya solución el Clay Institute ofreció un premio de 1 millón de dólares .

En busca de una respuesta a la pregunta bajo qué condiciones las ecuaciones diofánticas en forma de ecuaciones algebraicas tienen soluciones en números enteros y racionales [1] , Brian Birch y Peter Swinnerton-Dyer sugirieron a principios de la década de 1960 que el rango de una curva elíptica sobre un campo es igual al orden de cero funciones zeta de Hasse-Weyl en el punto . Más precisamente, la conjetura establece que existe un límite distinto de cero donde el valor depende de las invariantes aritméticas finas de las curvas. Con base en los datos de los experimentos numéricos, se asumió [2] que la asintótica es verdadera $r$ $mi$ $k$ ${\ estilo de visualización L (E, s)}$ $s = 1$ ${\displaystyle B_{E}=\lim \limits _{s\to 1}{\frac {L(E,s)}{(s-1)^{r))))$ ${\ estilo de visualización B_ {E}}$

\prod_{p\leq x}{\frac {N_{p}}{p}}\approx C\log(x)^{r}{\mbox{ at }}x\rightarrow \infty

donde es el número de puntos enteros en la curva con módulo de rango , es una constante. $Notario público$ $mi$ $r$ $pags$ $C$

La conjetura es la única forma general relativamente simple de calcular el rango de las curvas elípticas .

Resultados más importantes

En 1977, John Coates y Andrew Wiles demostraron la afirmación, que es cierta para una gran clase de curvas elípticas, de que si la curva contiene infinitos puntos racionales, entonces . $mi$ ${\ estilo de visualización L (E, 1) = 0}$

En 1986, Benedict Gross y Don Zagier demostraron que si una curva elíptica modular tiene un cero de primer orden en , entonces tiene un punto racional de orden infinito ( el teorema de Gross-Zagier ); ${\ estilo de visualización s = 1}$

En 1989, Viktor Kolyvagin demostró que una curva elíptica modular para la que no es igual a cero tiene rango 0, y una curva elíptica modular para la que tiene un cero de primer orden en s = 1 tiene rango 1. $mi$ ${\ estilo de visualización L (E, 1)}$ $mi$ ${\ estilo de visualización L (E, 1)}$

En 1991, Karl Rubin demostró que para curvas elípticas definidas sobre un campo cuadrático imaginario con multiplicación compleja por , si la serie de la curva elíptica es distinta de cero en s = 1, entonces la parte p del grupo de Tate-Shafarevich tenía el valor predicho orden por la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer para todos los números primos . $k$ $k$ $L$ ${\ estilo de visualización p> 7}$

En 1999 , Christoph Breuil , Brian Conrad , Fred Diamond y Richard Taylor demostraron el teorema de modularidad (que todas las curvas elípticas definidas sobre números racionales son modulares), esto extiende los resultados #2 y #3 a todas las curvas elípticas sobre números racionales y muestra que -Las funciones de todas las curvas elípticas están definidas para s = 1. $L$ $q$

En 2015, Arul Shankar y Manjul Bhargava demostraron que el rango medio del grupo Mordell-Weil para una curva elíptica está acotado por arriba en 7/6. $q$

Literatura

Koblitz N. Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares / editado por Yu. I. Manin . — M .: Mir , 1988.
Ireland K., Rosen M. Una introducción clásica a la teoría de números moderna. — M .: Mir , 1987.
Ian Stewart . Los mejores problemas de matemáticas. — M. : Alpina no ficción, 2015. — 460 p. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
abedul, Brian ; Swinnerton-Dyer, Peter (1965). "Notas sobre las curvas elípticas (II)". J. Reine Angew. Matemáticas. 165 (218): 79-108. DOI : 10.1515/crll.1965.218.79 .