Hipótesis de Duffin-Shaffer

La conjetura de Duffin-Schaffer es una conjetura importante en la teoría de los números métricos propuesta por R. Duffin y A. Schaeffer en 1941. [1] Establece que si es una función real que toma valores positivos, entonces para casi todas (con respecto a la medida de Lebesgue ) la desigualdad

tiene infinitas soluciones en números coprimos ( ) si y solo si

donde es la función de Euler .

Un análogo multivariado de esta conjetura fue probado por Vaughan y Pollington en 1990. [2] [3] [4]

Historia

Del lema de Borel- Cantelli se deduce que si existen aproximaciones racionales, entonces la serie diverge. [5] La declaración inversa es la esencia de esta hipótesis.

Se ha obtenido mucha evidencia para casos especiales de la conjetura de Duffin-Schaeffer. En 1970, Paul Erdős estableció que una conjetura es verdadera si existe una constante tal que para todo número entero, o , o . [2] [6] En 1978, Jeffrey Waaler fortaleció este resultado al caso . [7] [8] Más recientemente, Haynes, Pollington y Velani reforzaron aún más el resultado [9] , la conjetura es verdadera si existe un número tal que la serie

.

En 2006, Beresnevich y Velani demostraron que la contraparte de la conjetura de Duffin-Schaeffer para la medida de Hausdorff es equivalente a la conjetura de Duffin-Schaeffer original, que es a priori más débil. Este resultado fue publicado en Annals of Mathematics . [diez]

En julio de 2019, Dimitris Koukoulopoulos y James Maynard anunciaron una prueba de esta conjetura de Duffin-Shaffer. [once]

Notas

  1. RJ; Duffin. El problema de Khintchine en la aproximación métrica diofántica  // Duke Math  . j : diario. - 1941. - vol. 8 , núm. 2 . - P. 243-255 . -doi : 10.1215/ S0012-7094-41-00818-9 .
  2. 1 2 Montgomery, Hugh L. Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico  . - 1994. - vol. 84.
  3. AD; Pollington. La  conjetura de Duffin-Schaeffer k dimensional  // Mathematika : diario. - 1990. - vol. 37 . - P. 190-200 . — ISSN 0025-5793 . -doi : 10.1112/ s0025579300012900 .
  4. Harman (2002) pág. 69
  5. Harman (2002) pág. 68
  6. Harman (1998) pág. 27
  7. Departamento de Matemáticas .  (enlace no disponible)
  8. Harman (1998) pág. 28
  9. A. Haynes, A. Pollington y S. Velani, The Duffin-Schaeffer Conjecture with extra divergence , arXiv, (2009), https://arxiv.org/abs/0811.1234 Archivado el 7 de mayo de 2021 en Wayback Machine .
  10. Víctor; Beresnevich. Un principio de transferencia de masa y la conjetura de Duffin-Schaeffer para las medidas de Hausdorff  // Annals of Mathematics  : journal  . - 2006. - vol. 164 . - Pág. 971-992 . — ISSN 0003-486X . - doi : 10.4007/annals.2006.164.971 . -arXiv : matemáticas / 0412141 .
  11. D.; Koukoulopoulos. Sobre la conjetura de Duffin-Schaeffer  (neopr.) . - 2019. - arXiv : 1907.04593 .

Literatura

Enlaces