Hipótesis de Duffin-Shaffer
La conjetura de Duffin-Schaffer es una conjetura importante en la teoría de los números métricos propuesta por R. Duffin y A. Schaeffer en 1941. [1] Establece que si es una función real que toma valores positivos, entonces para casi todas (con respecto a la medida de Lebesgue ) la desigualdad
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tiene infinitas soluciones en números coprimos ( ) si y solo si
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donde es la función de Euler .
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Un análogo multivariado de esta conjetura fue probado por Vaughan y Pollington en 1990. [2] [3] [4]
Historia
Del lema de Borel- Cantelli se deduce que si existen aproximaciones racionales, entonces la serie diverge. [5] La declaración inversa es la esencia de esta hipótesis.
Se ha obtenido mucha evidencia para casos especiales de la conjetura de Duffin-Schaeffer. En 1970, Paul Erdős estableció que una conjetura es verdadera si existe una constante tal que para todo número entero, o , o . [2] [6] En 1978, Jeffrey Waaler fortaleció este resultado al caso . [7] [8] Más recientemente, Haynes, Pollington y Velani reforzaron aún más el resultado [9] , la conjetura es verdadera si existe un número tal que la serie
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![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}\left({\frac {f(n)}{n}}\right)^{1+\varepsilon}\varphi (n)=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6e85c4e4b39ffa8a8ae50c42a6299f5ed2cce7)
.
En 2006, Beresnevich y Velani demostraron que la contraparte de la conjetura de Duffin-Schaeffer para la medida de Hausdorff es equivalente a la conjetura de Duffin-Schaeffer original, que es a priori más débil. Este resultado fue publicado en Annals of Mathematics . [diez]
En julio de 2019, Dimitris Koukoulopoulos y James Maynard anunciaron una prueba de esta conjetura de Duffin-Shaffer. [once]
Notas
- ↑ RJ; Duffin. El problema de Khintchine en la aproximación métrica diofántica // Duke Math . j : diario. - 1941. - vol. 8 , núm. 2 . - P. 243-255 . -doi : 10.1215/ S0012-7094-41-00818-9 .
- ↑ 1 2 Montgomery, Hugh L. Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . - 1994. - vol. 84.
- ↑ AD; Pollington. La conjetura de Duffin-Schaeffer k dimensional // Mathematika : diario. - 1990. - vol. 37 . - P. 190-200 . — ISSN 0025-5793 . -doi : 10.1112/ s0025579300012900 .
- ↑ Harman (2002) pág. 69
- ↑ Harman (2002) pág. 68
- ↑ Harman (1998) pág. 27
- ↑ Departamento de Matemáticas . (indefinido) (enlace no disponible)
- ↑ Harman (1998) pág. 28
- ↑ A. Haynes, A. Pollington y S. Velani, The Duffin-Schaeffer Conjecture with extra divergence , arXiv, (2009), https://arxiv.org/abs/0811.1234 Archivado el 7 de mayo de 2021 en Wayback Machine .
- ↑ Víctor; Beresnevich. Un principio de transferencia de masa y la conjetura de Duffin-Schaeffer para las medidas de Hausdorff // Annals of Mathematics : journal . - 2006. - vol. 164 . - Pág. 971-992 . — ISSN 0003-486X . - doi : 10.4007/annals.2006.164.971 . -arXiv : matemáticas / 0412141 .
- ↑ D.; Koukoulopoulos. Sobre la conjetura de Duffin-Schaeffer (neopr.) . - 2019. - arXiv : 1907.04593 .
Literatura
- Harman, Glyn (1998). Teoría de los números métricos. Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. series nuevas. 18. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850083-4. Zbl 1081.11057.
- Harman, Glyn (2002). "Cien años de números normales". En Bennett, MA; Berndt, BC; Boston, N.; Diamante, HG; Hildebrand, AJ; Philipp, W. (eds.). Encuestas en teoría de números: artículos de la conferencia milenaria sobre teoría de números. Natick, MA: A. K. Peters. páginas. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8. Zbl 1062.11052.
Enlaces