Conjetura de Hadwiger (geometría combinatoria)

La hipótesis de Hadwiger ( geometría combinatoria ) es una hipótesis en geometría combinatoria que establece que cualquier cuerpo convexo en el espacio euclidiano bidimensional puede ser cubierto por -cuerpos más pequeños homotéticos al cuerpo cubierto [1] , y que los paralelepípedos son los únicos cuerpos que pueden ser cubiertos sólo por -cuerpos homotéticos más pequeños cuerpos corporales cubiertos. Se desconoce la validez de esta hipótesis para . $norte$ $2^{n}$ $2^{n}$ $n\geqslant 3$

Historia

La hipótesis fue propuesta por Hugo Hadwiger en 1957 [2] A.Yu. Levin y Yu.I. Petunin demostró que para cualquier cuerpo convexo con simetría central de cualquier dimensión, la desigualdad es cierta . [3] En 1963, Rogers obtuvo la estimación para cuerpos centralmente simétricos [4] $norte$ ${\displaystyle N\leqslant (n+1)^{n))$ $N\leqslant 2^{n}(n\ln n+n\ln \ln n+5n)$

Formulación en términos del problema de la iluminación

Se puede demostrar que el menor número de cuerpos homotéticos al original requerido para cubrir un cuerpo bidimensional convexo es igual al menor número de direcciones suficientes para iluminar completamente este cuerpo. [5] $norte$

Notas

↑ Boltyansky, 1965 , p. 47.
↑ Hadwiger H. Ungelöste Probleme, nº 20, Elem. der Math.12 (1957), 121
↑ Boltyansky, 1965 , p. 48.
↑ Boltyansky, 1965 , p. 49.
↑ Boltyansky, 1965 , p. 57.

Literatura

VG Boltyansky , I.Ts. Gohberg . Teoremas y Problemas de Geometría Combinatoria . — M .: Nauka, 1965. — 107 p.