Geometría combinatoria

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La geometría combinatoria o discreta  es una rama de la geometría que estudia las propiedades combinatorias de los objetos geométricos y las construcciones relacionadas. En geometría combinatoria, consideran estructuras o conjuntos discretos finitos e infinitos de objetos geométricos básicos del mismo tipo ( puntos , líneas , círculos , polígonos , cuerpos del mismo diámetro , redes enteras , etc.) y plantean cuestiones relacionadas con las propiedades de varias estructuras geométricas de estos objetos o en estas estructuras. Los problemas de la geometría combinatoria van desde cuestiones específicas de "objeto" -combinatorias (aunque no siempre con respuestas simples) -teselados , empaquetamiento de círculos en un plano , fórmula de Pick- hasta cuestiones  generales y profundas, como la conjetura de Borsuk , la de Nelson- Problema de Erdös-Hadwiger .

Historia

Aunque Kepler y Cauchy estudiaron poliedros , teselados y empaques de esferas , la geometría combinatoria moderna comenzó a tomar forma a fines del siglo XIX. Algunos de los primeros problemas fueron: densidad de empaquetamiento de círculos de Axel Thue , configuración proyectiva Steinitz , geometría de números de Minkowski y el problema de los cuatro colores de Francis Guthrie .

Ejemplos de problemas

Los siguientes ejemplos dan una idea de la gama de problemas en geometría combinatoria.

• El lema de cobertura de Vitali  es un resultado geométrico combinatorio. Ampliamente utilizado en la teoría de la medida.

• El problema de los empaques posibles y más densos de círculos en un plano y bolas en el espacio . Los empaques más densos de círculos y esferas parecen obvios. Pero una prueba matemática completa para los círculos se obtuvo recién en 1940 [1] . Para las pelotas, una demostración por computadora de la conjetura de Kepler apareció 400 años después, en 1998 , en el trabajo del matemático Thomas Hales.

• El teorema de Erdős-Szekeres sobre polígonos convexos establece que en cualquier conjunto suficientemente grande de puntos en una posición general en el plano, uno puede encontrar puntos que son vértices de un polígono convexo. La conjetura de Erdős-Szekeres sobre el número mínimo de puntos que necesariamente contienen un -gon convexo no ha sido probada hasta la fecha. Este problema es también un problema de la teoría de Ramsey .

• Teorema del cuerpo convexo de Minkowski . Sea un cuerpo convexo  cerrado , simétrico con respecto al origen de coordenadas -dimensionales del espacio euclidiano, que tiene volumen . Entonces hay un punto entero diferente de . Este teorema marcó el comienzo de la geometría de los números .

• La conjetura de Borsuk establece que cualquier cuerpo de diámetro en el espacio euclidiano bidimensional se puede dividir en partes de modo que el diámetro de cada parte sea menor que . Esta conjetura fue probada para dimensiones y , pero refutada para espacios de gran dimensión. Según la estimación conocida hoy en día, es incorrecta para espacios de dimensión 64 y más [2] .

• El problema de Danzer-Grunbaum es encontrar un conjunto finito de tantos puntos en un espacio multidimensional como sea posible, entre los cuales solo se pueden construir ángulos agudos.

Véase también

• Geometría Computacional
• geometría definitiva
• geometría de los números

Notas

1. ↑ Chang, Hai-Chau & Wang, Lih-Chung (2010), Una prueba simple del teorema de Thue sobre el empaquetado circular, arΧiv : 1009.4322v1 [math.MG]. 
2. ↑ Thomas Jenrich, Un contraejemplo de dos distancias de 64 dimensiones para la conjetura de Borsuk. Archivado el 26 de diciembre de 2018 en Wayback Machine .

Enlaces

• Bezdek, Andras; Kuperberg, W. Geometría discreta: en honor al 60 cumpleaños de W. Kuperberg  (inglés) . — Nueva York, Nueva York: Marcel Dekker, 2003. - ISBN 0-8247-0968-3 .
• Bezdek, Karoly. Temas Clásicos en Geometría Discreta  (indefinido) . — Nueva York, NY: Springer, 2010. — ISBN 978-1-4419-0599-4 .
• Latón, Pedro; Moser, Guillermo; Pach, JanosProblemas de investigación en geometría discreta  (indefinida) . - Berlín: Springer, 2005. - ISBN 0-387-23815-8 .
• Pach, Janos; Agarwal, Pankaj K. Geometría combinatoria  (indefinida) . — Nueva York: Wiley-Interscience , 1995. — ISBN 0-471-58890-3 .
• Goodman, Jacob E. y O'Rourke, Joseph. Manual de geometría discreta y computacional, segunda  edición . - Boca Ratón: Chapman & Hall/CRC, 2004. - ISBN 1-58488-301-4 .
• Gruber, Peter M. Geometría convexa y discreta. - Berlín: Springer, 2007. - ISBN 3-540-71132-5 .
• Matousek, Jiri. Clases de geometría discreta. - Berlín: Springer, 2002. - ISBN 0-387-95374-4 .
• Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan,. Excursiones a la Geometría Combinatoria  (neopr.) . - Springer, 1997. - ISBN 3-540-61341-2 .

En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4130271-0 J9U : 987007539732105171 LCCN : sh2002004432 NKC : ph187935