Plaza greco-latina

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El cuadrado griego-latino , o cuadrado de Euler , es un cuadrado de N × N en cada celda del cual hay 2 números del 1 al N de modo que se cumplen las siguientes condiciones:

1. En cada fila y columna, cada dígito aparece una vez en el primer lugar del par y una vez en el segundo.
2. Cada dígito se empareja con todos los demás dígitos y consigo mismo una vez.

Tales cuadrados, como su nombre lo indica, están estrechamente relacionados con los cuadrados latinos, para los cuales solo se cumple la primera regla, y en cada celda de los cuales hay solo un número. El mismo nombre de esos y otros cuadrados provino de Euler , quien usó letras griegas y latinas en lugar de números.

El cuadrado greco-latino puede verse como una superposición de dos cuadrados latinos ortogonales .

Ejemplo

a b C d b a d C C d a b d C b a

α β γ d γ d α β d γ β α β α d γ

Cuadrado greco-latino obtenido superponiendo los dos cuadrados latinos anteriores

aα	bβ	cγ	dδ
bγ	aδ	da	cβ
cδ	dγ	aβ	ba
dβ	California	bδ	aγ

Historia

Estudiando los cuadrados griego-latinos, Euler descubrió fácilmente que los cuadrados de segundo orden no existen, luego construyó cuadrados de orden 3, 4 y 5. No pudo encontrar un cuadrado de orden 6, y Euler conjeturó que los cuadrados de orden del formulario no existe (por ejemplo, orden 6, 10, 14, etc.). En 1901, la conjetura de Euler fue probada por el matemático francés Gaston Tarry , quien analizó todas las variaciones posibles de tal cuadrado. Sin embargo, en 1959, la hipótesis fue refutada por dos matemáticos indios: R. K. Bowes y S. S. Srikhande, quienes descubrieron un cuadrado de orden 22 usando una computadora, y por un matemático estadounidense, E. T. Parker, quien encontró un cuadrado de orden 10.

00	47	Dieciocho	76	29	93	85	34	61	52
86	once	57	28	70	39	94	45	02	63
95	80	22	67	38	71	49	56	13	04
59	96	81	33	07	48	72	60	24	quince
73	69	90	82	44	17	58	01	35	26
68	74	09	91	83	55	27	12	46	treinta
37	08	75	19	92	84	66	23	cincuenta	41
catorce	25	36	40	51	62	03	77	88	99
21	32	43	54	sesenta y cinco	06	diez	89	97	78
42	53	64	05	dieciséis	veinte	31	98	79	87

Posteriormente se descubrieron casillas de órdenes 14, 18, etc. En un artículo conjunto (abril de 1959), los tres descubridores mencionados anteriormente demostraron que existen cuadrados greco-latinos de cualquier orden excepto el 2º y el 6º.

Problemas sobre cuadrados greco-latinos

El mismo Euler planteó el problema de encontrar un cuadrado de orden 6 de la siguiente manera:

Hay 36 oficiales de 6 rangos diferentes en 6 regimientos. Es necesario colocarlos en un cuadrado de tal manera que todos los oficiales de cada columna y línea sean de diferentes rangos y de diferentes regimientos. Como ya se mencionó, este problema no tiene solución.

Otro desafío es así:

debe colocar 16 cartas (jotas, reinas, reyes y ases de diferentes palos) para que en cada fila y columna haya una carta de cada palo y valor. Este problema era conocido incluso antes de Euler. Su solución es cualquier cuadrado greco-latino de orden 4. Para este problema también existen variantes en las que además se exige que se cumplan los mismos requisitos en las diagonales principales. En otra variación, se requiere que los colores de los trajes estén en un patrón de tablero de ajedrez. Todos estos problemas tienen solución.

Aplicación de cuadrados grecolatinos

Si hay un sistema sobre el que actúan 4 parámetros diferentes (por ejemplo, el impacto de N comerciales diferentes en la población de N grupos de edad, sociales y étnicos diferentes), que puede tomar valores de N, debemos considerar el griego -Cuadrado latino de orden N. Entonces los parámetros corresponderán a la serie, columna, primer y segundo número. Por lo tanto, es posible realizar experimentos, en lugar de (en el caso de una enumeración completa de opciones)