Transferencia paralela

La traslación paralela es un isomorfismo de capas sobre los extremos de una curva suave por tramos de la base de un haz suave , definida por alguna conexión dada en . En particular, un isomorfismo lineal de los espacios tangentes y , definido a lo largo de una curva por alguna conexión afín dada en . ${\ estilo de visualización \ eta: E \ a B}$ $mi$ $T_{\gamma (0)}(M)$ $T_{\gamma (1)}(M)$ ${\ estilo de visualización \ gamma \ en M}$ $METRO$

Traducción paralela a lo largo de una conexión afín

Deje que se dé una conexión afín en una variedad suave . Se dice que un vector se obtiene por traslación paralela de un vector a lo largo de una curva suave sin autointersecciones si existe un campo vectorial suave en la vecindad de esta curva con las siguientes propiedades: $METRO$ $X_{1}\en T_{\gamma (1)}(M)$ $X_{0}\en T_{\gamma (0)}(M)$ ${\ estilo de visualización \ gamma: [0,1] \ a M}$ $X$

igualdades y se cumplen ; ${\displaystyle X(\gamma (0))=X_{0))$ ${\displaystyle X(\gamma (1))=X_{1))$
para cualquier valor , se mantiene la igualdad , donde el símbolo denota la derivada covariante y es el vector de velocidad . ${\ estilo de visualización t \ en [0,1]}$ $\nabla_{{\dot {\gamma}}(t)}X=0$ $\nabla$ ${\dot {\gamma}}(t)$ $\gama$

Comentario. Como en coordenadas locales la igualdad es cierta:

(\nabla_{\dot {\gamma }}X)^{i}={\frac {d}{dt}}X^{i}+\Gamma_{jk}^{i}\cdot X^{j}{\punto {\gamma}}^{k}

y en esta expresión no hay derivadas parciales de las componentes del vector , en la definición de traslación paralela no es necesario exigir que el campo vectorial esté definido en toda una vecindad del camino , basta que exista y sea suave a lo largo de este camino solo. $X$ $X$ $\gamma (t)$

Una traslación paralela a lo largo de una curva suave por partes (incluidas las curvas con autointersecciones) se define como una superposición de traslaciones paralelas a lo largo de sus partes suaves que no se intersecan a sí mismas.

A partir del concepto de traslación paralela de un vector, se definen los conceptos de traslación paralela de un tensor de valencia arbitraria.

Propiedades de traslación paralela de vectores

De acuerdo con la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias, la solución del problema de Cauchy de una EDO lineal arbitraria continúa indefinidamente a lo largo de cualquier curva suave, por lo tanto, especificando un vector en el punto inicial e indicando un camino de traslación paralela, este vector se transfiere de forma única a cualquier punto de este camino.
Al trasladar vectores a lo largo de la misma ruta, se conservan todas las relaciones lineales entre ellos.
La transferencia de vectores es reversible: basta con transferir los vectores finales a lo largo del camino de retorno para obtener los vectores originales.
Como consecuencia de las dos propiedades anteriores, resulta que el operador de traslación paralela a lo largo de una curva es un isomorfismo lineal de los espacios y . $\gama$ $T_{\gamma (0)}(M)$ $T_{\gamma (1)}(M)$
Si una conexión afín es consistente con un tensor métrico en una variedad de Riemann ( la conexión de Levi-Civita ), entonces el operador de traducción es ortogonal, es decir, conserva los productos punto de los vectores, sus longitudes y los ángulos entre ellos.
Una propiedad importante de la traducción paralela es también la independencia del resultado de la traducción de la parametrización de la ruta (las rutas equivalentes darán el mismo resultado). Al mismo tiempo, la traslación paralela a lo largo de diferentes curvas suele conducir a resultados diferentes.

Definiciones relacionadas

Una geodésica es una trayectoria suave cuyo vector tangente en cada punto se obtiene por traslación paralela del vector tangente desde cualquier otro punto.
El grupo de holonomía es el grupo de automorfismos del espacio tangente definido por traslaciones paralelas a lo largo de curvas suaves cerradas por tramos. Además, para una variedad conexa , y son siempre conjugados. ${\ estilo de visualización \ Phi _ {x}}$ $T_{x}M$ ${\ estilo de visualización \ Phi _ {x}}$ ${\ estilo de visualización \ Phi _ {y}}$

Historia

El desarrollo del concepto de traslación paralela comenzó con el paralelismo habitual en el plano euclidiano, para lo cual Minding en 1837 indicó la posibilidad de generalizarlo al caso de una superficie con la ayuda del concepto que introdujo de desplegar una curva sobre un avión _ Esta indicación de Minding sirvió como punto de partida para Levi-Civita , quien, formalizando analíticamente el transporte paralelo de un vector tangente sobre una superficie, descubrió su dependencia solo de la métrica de la superficie y, sobre esta base, la generalizó inmediatamente a la caso de espacio riemanniano -dimensional (ver conexión Levi-Civita ). Otras generalizaciones de este concepto están conectadas con el desarrollo de la teoría general de las conexiones. $\mathbb{R} ^{3}$ ${\ estilo de visualización \ gamma \ en S}$ $\matemáticas {R} ^{2}$ $norte$

Literatura

Rashevsky PK Geometría de Riemann y análisis tensorial. - Cualquier edición.
Kobayashi Sh., Nomizu K. Fundamentos de geometría diferencial. — Instituto Novokuznetsk de Física y Matemáticas. - T. 1. - 344 pág. - ISBN 5-80323-180-0 .