Refracción doble

La birrefringencia o birrefringencia es una propiedad óptica de los materiales anisotrópicos en los que el índice de refracción depende de la dirección de propagación de la luz. En tales materiales, se puede observar el efecto de dividir un haz de luz en dos componentes, cuando, cuando ingresa al material, no se forman uno, sino dos haces refractados con diferentes direcciones y polarizaciones. Fue descubierto por primera vez por el científico danés Rasmus Bartholin en un cristal de espato islandés en 1669 .

Descripción

Materiales uniaxiales

El tipo más simple de birrefringencia se ve en materiales uniaxiales . En la mayoría de los casos, estos son cristales cuya red es asimétrica, es decir, está alargada o comprimida en cualquier dirección . En este caso, la rotación alrededor de esta dirección (eje óptico) no cambia las propiedades ópticas del cristal. El comportamiento de una onda de luz en dicho medio depende de la dirección de propagación y polarización de la luz. Una onda ordinaria es aquella que está polarizada perpendicularmente al eje óptico y dirección de propagación, y la polarización de una onda extraordinaria es perpendicular a la de una onda ordinaria. Se pueden distinguir tres casos principales:

1) La luz se propaga a lo largo del eje óptico (en este caso, la polarización será perpendicular al eje óptico), entonces el índice de refracción será el mismo para todas las polarizaciones, y el cristal en este caso no difiere de un medio isotrópico, y no hay diferencia entre olas ordinarias y extraordinarias.

2) La luz se propaga perpendicular al eje óptico. Luego, la polarización se puede descomponer en dos proyecciones: paralela al eje óptico y perpendicular. El índice de refracción efectivo será diferente para la luz de dos polarizaciones ortogonales, y al atravesar una capa (placa) de material, se puede observar un cambio de fase entre las dos componentes. Si la polarización inicial es lineal y está orientada completamente a lo largo o completamente perpendicular al eje óptico, entonces no cambiará a la salida de la placa. Sin embargo, si la luz se polariza inicialmente en un ángulo con el eje óptico, o si la polarización es elíptica o circular, al pasar a través de una placa de un cristal uniaxial, la polarización puede cambiar debido a un cambio de fase entre los componentes. El cambio depende del espesor de la placa, la diferencia entre los índices de refracción y la longitud de onda de la luz.

Sea el ángulo entre la polarización y el eje óptico . Si el grosor de la placa es tal que, a la salida, una polarización es un cuarto de onda (un cuarto de período) detrás de la otra, entonces la polarización lineal original se convertirá en circular (dicha placa se llama un cuarto -onda) si la fase de un haz se retrasa con respecto a la fase del otro haz en la mitad de la longitud de onda , entonces la luz permanecerá polarizada linealmente, pero el plano de polarización girará en un cierto ángulo, cuyo valor depende del ángulo entre el plano de polarización del haz incidente y el plano del eje óptico principal (esta placa se llama media onda). ${\ estilo de visualización 45 ^ {o}}$

3) La luz se propaga en una dirección arbitraria con respecto al eje óptico. Entonces no se observará un haz refractado, sino dos con polarizaciones diferentes. Las direcciones de los rayos refractados se pueden encontrar gráficamente.

La descripción matemática del proceso es bastante engorrosa, pero el resultado se puede ilustrar claramente usando construcciones que recuerdan la ilustración de la difracción en un cristal usando la construcción de Ewald .

Deje que una onda caiga del aire sobre la superficie de un cristal uniaxial. Instrucciones para encontrar las direcciones de los vectores de onda y rayo para ondas ordinarias y extraordinarias para un cristal uniaxial (ver figura, por simplicidad, el eje óptico está en el plano de incidencia). :

1. Dibuja la superficie del cristal horizontalmente.

2. Dibuja un hemisferio en el aire con un radio igual a uno y con el centro descansando sobre la superficie del cristal.

2. Dibuja un hemisferio en el medio con el mismo centro y radio igual al índice de refracción . ${\ Displaystyle n_ {o}}$

3. Dibujar en el medio un elipsoide con el mismo centro, cuyo semieje mayor esté orientado a lo largo del eje óptico del cristal y sea igual a , y el menor sea . ${\ Displaystyle n_ {o}}$ $nordeste}$

4. Construya los rayos incidente y reflejado de modo que el final del incidente y el comienzo del reflejado estén en el centro de las esferas.

5. Dibuja una línea vertical que pase por la intersección del haz reflejado con la esfera.

6. Encuentra los puntos de intersección de la línea con la esfera y el elipsoide en la sustancia.

7. Dibujar desde el centro hasta los puntos de intersección de las direcciones de los vectores de onda de las ondas ordinarias y extraordinarias. Los índices de refracción corresponderán a la longitud de estos vectores.

8. Para una onda ordinaria: el vector E debe ser perpendicular al eje óptico y el vector k , k || s .

9. Para una onda extraordinaria: El rayo vector s debe ser perpendicular al elipsoide en el punto de intersección. El rayo extraordinario puede no estar en el plano de incidencia. La polarización de la onda extraordinaria E es perpendicular al vector de rayos s y la polarización de la onda ordinaria. El vector D es perpendicular al vector de onda k . Los vectores D , E , s y k de la onda extraordinaria deben estar en el mismo plano [1] .

Materiales biaxiales

En tales cristales, los índices de refracción son diferentes a lo largo de los tres ejes del sistema de coordenadas cartesianas. La superficie de los vectores de onda tiene una forma compleja, pero todavía hay dos direcciones distinguidas, que pueden llamarse ejes ópticos, ya que solo hay una dirección del vector k cuando se propaga a lo largo de los ejes ópticos. En este caso, esta dirección corresponde a un número infinito de vectores de rayos que llenan la superficie cónica, y se observa la refracción cónica . Cuando se propaga a lo largo de direcciones que no coinciden con los ejes ópticos, se observa birrefringencia, pero en este caso, en la mayoría de los casos, ambos haces son extraordinarios (la dirección del vector de onda y el rayo no coinciden).

La birrefringencia se puede observar no solo en cristales, sino también en cualquier material con una estructura asimétrica, por ejemplo, en plástico.

La naturaleza del fenómeno

Cualitativamente, el fenómeno se puede explicar de la siguiente manera. De las ecuaciones de Maxwell para un medio material se deduce que la velocidad de fase de la luz en un medio es inversamente proporcional a la constante dieléctrica ε del medio. En algunos cristales, la permitividad -una cantidad tensorial- depende de la dirección del vector eléctrico, es decir, del estado de polarización de la onda , y por tanto la velocidad de fase de la onda dependerá de su polarización.

De acuerdo con la teoría clásica de la luz, la ocurrencia del efecto se debe a que el campo electromagnético alterno de la luz hace que los electrones de la sustancia oscilen, y estas oscilaciones afectan la propagación de la luz en el medio, y en algunas sustancias. es más fácil hacer que los electrones oscilen en ciertas direcciones determinadas.

Derivación de fórmulas

En un medio isotrópico (incluido el espacio libre), la inducción eléctrica ( D ) es simplemente proporcional al campo eléctrico ( E ) según D = ɛ E donde la permitividad ε es solo un escalar (y es igual a n 2 ε 0 donde n es el índice de refracción ). Sin embargo, en materiales anisotrópicos, la relación entre D y E debe describirse mediante la ecuación tensorial :

\mathbf {D} ={\boldsymbol {\varepsilon}}\mathbf {E}

(una)

donde ε es ahora una matriz de 3 × 3. Suponga que el medio es lineal y la permeabilidad magnética es μ = μ 0 . Escribamos el campo eléctrico de una onda plana con frecuencia ω de la siguiente forma:

{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)))

(2)

donde r es el radio vector, t es el tiempo, E 0 es el vector que describe el campo eléctrico en r = 0 , t = 0 . Encontremos todos los vectores de onda k posibles . Combinando las ecuaciones de Maxwell para ∇ × E y ∇ × H , y eliminando H = unaμ0 _B , obtenemos:

-\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =\mu _{0}{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial t^{2}}}\mathbf {D}

(3a)

Recuérdese también que en ausencia de cargas libres, la divergencia D desaparece:

\nabla \cdot \mathbf {D} =0

(3b)

Aplica la relación ∇ × (∇ × A ) = ∇(∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A al lado izquierdo de 3a , y aprovecha que el campo es una onda plana, lo que significa que la derivada con respecto a x (por ejemplo) conduce a la multiplicación por ik x :

-\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =(\mathbf {k} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {k} -(\mathbf {k} \cdot \mathbf {k } )\mathbf {E}

El lado derecho de 3a se puede expresar en términos de E con el tensor ε , y las derivadas temporales simplemente dan como resultado la multiplicación por −iω , y luego 3a :

(-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {E} +(\mathbf {k} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {k} =-\mu _{0} }\omega ^{2}({\boldsymbol {\varepsilon }}\mathbf {E} )

(4a)

Aplicando la derivación a 3b encontramos:

\mathbf {k} \cdot \mathbf {D} =0

(4b)

La ecuación 4b significa que D es perpendicular a la dirección del vector de onda k , mientras que esto ya no es cierto para el vector E como lo sería en un medio isotrópico. La ecuación 4b no se utilizará más.

Encontrar valores válidos para el vector k para un ω dado es más fácil en un sistema de coordenadas cartesianas , en el que los ejes x , y y z son paralelos a los ejes de simetría del cristal (o simplemente eligiendo el eje z a lo largo del eje óptico ). eje de un cristal uniaxial). Entonces la matriz para el tensor ε será diagonal:

\mathbf {\varepsilon} =\varepsilon _{0}{\begin{bmatrix}n_{x}^{2}&0&0\\0&n_{y}^{2}&0\\0&0&n_{z}^{ 2}\end{bmatriz}}

(4c)

en la diagonal están los cuadrados del índice de refracción para las polarizaciones a lo largo de los ejes x , y , y z . Sustituyendo ε en esta forma, y la velocidad de la luz c en la forma c 2 =unaμ 0 ε 0, La proyección de la ecuación vectorial 4a sobre el eje x se escribe como

\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}\right)E_{x}+k_{x}^{2}E_ {x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=-{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2)) {c^{2}}}E_{x}

(5a)

donde E x , E y , E z son las componentes del vector E y k x , k y , k z son las componentes del vector de onda k . Escribamos las ecuaciones para las tres proyecciones eq. 4a :

\left(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2}}{c^{2} }}\right)E_{x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=0

(5b)

k_{x}k_{y}E_{x}+\left(-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{ y}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{y}+k_{y}k_{z}E_{z}=0

(5c)

k_{x}k_{z}E_{x}+k_{y}k_{z}E_{y}+\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2} +{\frac {\omega ^{2}n_{z}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{z}=0

(5d)

Este es un sistema de ecuaciones lineales en E x , E y , E z , que tiene una solución no trivial (es decir, E = 0 ) solo si el determinante de la siguiente matriz es cero:

{\begin{vmatrix}\left(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2)) {c^{2}}}\right)&k_{x}k_{y}&k_{x}k_{z}\\k_{x}k_{y}&\left(-k_{x}^{2} -k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{y}^{2}}{c^{2}}}\right)&k_{y}k_{z}\\ k_{x}k_{z}&k_{y}k_{z}&\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_ {z}^{2}}{c^{2}}}\right)\end{vmatriz}}=0

(6)

Calculando el determinante 6 , obtenemos

{\frac {\omega ^{4}}{c^{4}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {k_ {x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{x}^{2}+k_{z}^{2} {n_{y}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}}}\derecha)+ \left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{ n_{x}^{2}n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}n_{y}^{2}} }\derecha)\izquierda(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}\derecha)=0

(7)

La ecuación 7 también se llama ecuación de Fresnel.

Cristal uniaxial

En este caso, en el caso de un material uniaxial (dos elementos diagonales de la matriz ε son iguales entre sí), y eligiendo el sistema de coordenadas para que el eje óptico esté dirigido a lo largo de z , denotamos n x = n y = n o y n z = n e , la expresión se reduce a

\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_ {\mathrm {o} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}-{\frac {\omega ^ {2}}{c^{2}}}\derecha)\izquierda({\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{ 2))}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)=0

(ocho)

Para que se cumpla la Ecuación 8 , uno de los factores debe ser cero. Nótese que el primero corresponde a la ecuación de una esfera, y el segundo corresponde a la superficie de un elipsoide en el espacio de los vectores de onda k para un ω dado . El primer factor corresponde a la solución para una onda ordinaria, donde el índice de refracción es igual a n o independientemente de la dirección, y el segundo, para una extraordinaria. El segundo factor corresponde a la solución para una onda extraordinaria, donde el índice de refracción efectivo varía de no a n e dependiendo de la dirección de k . Para una dirección arbitraria de propagación de onda, son posibles dos vectores k , correspondientes a dos polarizaciones diferentes.

Para una onda ordinaria, los vectores D y E coinciden, así como las direcciones del vector de onda k y la dirección del vector de rayo s en óptica geométrica (cuya dirección es la misma que la del vector de velocidad de grupo ). Para una ola extraordinaria, generalmente este no es el caso. Considere la ecuación para un cristal uniaxial $\mathbf {v} _{gr}=\nabla _{\mathbf {k} }\omega$

F(k_{x},k_{y},k_{z})={\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+ {\frac {k_{y}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}-{\frac{\omega^{2}}{c^{2}}}=0

(9)

Comparemos la ecuación de la velocidad del grupo con la ecuación de la normal a la superficie dada implícitamente. Dado que las ecuaciones coinciden hasta una constante, el vector de rayos es perpendicular al elipsoide en consideración. $\mathbf {v} _{gr}=\nabla _{\mathbf {k} }\omega$

Cristal biaxial

Para entender cómo se ve la superficie cuando todos los elementos diagonales de la matriz ε son diferentes (sea ), igualamos uno de los componentes del vector k a cero ( ) y reescribimos la ecuación 7 . ${\displaystyle n_{z}>n_{y}>n_{x))$ $k_{z}=0$

{\frac {\omega ^{4}}{c^{4}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {k_ {x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2 ))}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{x}^{2}}}\right)+\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_ {y}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{x}^{2}}}\right){\frac {k_{x}^{2}+ k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}=0

(diez)

Se puede factorizar:

\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}}} -{\frac {k_{y}^{2}}{n_{x}^{2}}}\derecha)\izquierda({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}} -{\frac{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}\derecha)=0

(once)

El primer factor es una elipse y el segundo es un círculo. Se puede hacer una expansión similar para los tres planos . La figura muestra las secciones de superficie de tres planos de coordenadas en un octante, en el resto la imagen es simétrica. La superficie tiene 4 puntos singulares (puntos de auto-intersección), en nuestro caso, que se encuentran en el plano xz . Por estos puntos pasan dos ejes , que se denominan ejes ópticos (o binormales ) de un cristal biaxial. Solo en estas direcciones el vector de onda puede tener un valor único. Sin embargo, en un punto singular de la superficie, la dirección de la normal es indefinida y el vector de rayos puede llenar una superficie cónica (cono de refracción cónica interna ) $k_{i}=0$ $\beta$

Birrefringencia artificial

Además de los cristales birrefringentes, la birrefringencia también se observa en medios isotrópicos colocados en un campo eléctrico ( efecto Kerr ), en un campo magnético ( efecto Faraday y efecto Cotton-Mouton ), bajo la acción de tensiones mecánicas ( fotoelasticidad ). Bajo la influencia de estos factores, un medio inicialmente isotrópico cambia sus propiedades y se vuelve anisotrópico. En estos casos, el eje óptico del medio coincide con la dirección del campo eléctrico, el campo magnético y la dirección de aplicación de la fuerza.

Cristales positivos y negativos

Los cristales negativos son cristales uniaxiales en los que la velocidad de propagación de un haz de luz ordinario es menor que la velocidad de propagación de un haz extraordinario. En cristalografía, los cristales negativos también se denominan inclusiones líquidas en cristales que tienen la misma forma que el cristal mismo.
Los cristales positivos son cristales uniaxiales en los que la velocidad de propagación de un haz de luz ordinario es mayor que la velocidad de propagación de un haz extraordinario.

Véase también

Medios relacionados Birrefringencia en Wikimedia Commons
Polarización de dieléctricos
Efecto algodón-mouton
efecto kerr
Efecto bolsillos
efecto faraday

Literatura

Sivukhin DV Curso general de física. — M. . - T. IV. Óptica.
Landsberg GS Optics M., 2004
Landau L. D. , Lifshits E. M. Electrodinámica de medios continuos. - 4ª edición, estereotipada. — M .: Fizmatlit , 2003. — 656 p. - ( Física Teórica , Tomo VIII). — ISBN 5-9221-0123-4 .
Saleh B., Teich M. , Óptica y fotónica. Principios y aplicaciones, trad. De inglés. En 2 t.

Notas

↑ D. A. Parshin, G. G. Zegrya. Ondas electromagnéticas. ecuación de onda Ondas planas. Flujo de energía en una onda plana. Vector señalador. Densidad de flujo de impulso. Medidor de estrés. presión ligera Los experimentos de Lebedev. . Ondas electromagnéticas. Conferencia 18 . Consultado el 21 de agosto de 2020. Archivado desde el original el 11 de julio de 2019. (indefinido)

Enlaces

Erasmus Bartholin, Experimenta crystalli islandici disdiaclastici quibus mira & infolita refractio detegitur (Copenhague, Dinamarca: Daniel Paulli, 1669).
Erasmus Bartholin (1 de enero de 1670) Una relación de diversos experimentos realizados y comunicados por ese erudito matemático, el Dr. Erasmus Bartholin, sobre un cuerpo cristalino, le envió fuera de Island, Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 5 : 2041-2048.