Determinante de pizarra

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 18 de abril de 2019; la verificación requiere 1 edición .

El determinante de Slater o el determinante de Slater es una función de onda de un sistema mecánico cuántico de muchas partículas que es antisimétrico con respecto a la permutación de partículas y se construye a partir de funciones de una sola partícula.

El determinante de Slater proporciona una forma sencilla de construir la función antisimétrica necesaria para describir sistemas que constan de muchos fermiones . Para ello, utilice la propiedad del determinante para cambiar de signo al reorganizar las columnas.

Casos

Caso de dos partículas

La forma más sencilla de aproximar una función de onda de muchas partículas es tomar el producto de funciones de onda de una sola partícula bien elegidas. Para el caso de dos partículas, obtenemos

\Psi ({\mathbf {r}}_{1},{\mathbf {r}}_{2})=\psi _{1}({\mathbf {r}}_{1})\psi _ {2}({\mathbf{r}}_{2}).

Esta expresión se usa en el método de Hartree como ansatz para la función de onda multipartícula y se conoce como producto de Hartree, aunque no es satisfactoria para fermiones, por ejemplo, para electrones, ya que tal función de onda no es antisimétrica, es decir, la igualdad

\Psi ({\mathbf {r}}_{1},{\mathbf {r}}_{2})=-\Psi ({\mathbf {r}}_{2},{\mathbf {r} }_{una}).

Por esta razón, el producto de Hartree no satisface el principio de indistinguibilidad de partículas. Este problema se puede resolver tomando una combinación lineal de ambos productos de Hartree:

\Psi ({\mathbf {r}}_{1},{\mathbf {r}}_{2})={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\{\psi _{ 1}({\mathbf {r}}_{1})\psi _{2}({\mathbf {r}}_{2})-\psi_{1}({\mathbf {r}}_ {2})\psi _{2}({\mathbf{r}}_{1})\}

={\frac {1}{{\sqrt 2}}}{\begin{vmatrix}\psi _{1}({\mathbf {r}}_{1})&\psi _{2}({\ mathbf {r}}_{1})\\\psi _{1}({\mathbf {r}}_{2})&\psi _{2}({\mathbf {r}}_{2} )\end{vmatriz}}

Aquí el multiplicador es el factor de normalización. Tal función de onda es antisimétrica. Además, se convierte en cero si dos funciones de onda son iguales. Una consecuencia de esto es el principio de exclusión de Pauli . ${\frac{1}{{\sqrt {2))))$

Generalización

El determinante de Slater para un sistema de partículas idénticas se construye de la siguiente manera. Se toma un conjunto de funciones de onda de una partícula linealmente independientes . La función de onda antisimétrica tendrá la forma $norte$ $norte$ $\psi _{i}({\mathbf{r}})$

\psi ({\mathbf {r}}_{1},{\mathbf {r}}_{2},\ldots,{\mathbf {r}}_{i},\ldots,{\mathbf {r } }}_{N})={\frac {1}{{\sqrt {N!}}}}\left|{\begin{matriz}\psi _{1}({\mathbf {r}}_ { 1})&\psi _{2}({\mathbf {r}}_{1})&\ldots &\psi_{i}({\mathbf {r}}_{1})&\ldots & \psi _{N}({\mathbf {r}}_{1})\\\psi _{1}({\mathbf {r}}_{2})&\psi _{2}({ \ mathbf {r}}_{2})&\ldots &\psi _{i}({\mathbf {r}}_{2})&\ldots &\psi _{N}({\mathbf {r } }_{2})\\&&&\vdots \\\psi _{1}({\mathbf {r}}_{i})&\psi _{2}({\mathbf {r}}_{ i })&\ldots &\psi _{i}({\mathbf {r}}_{i})&\ldots &\psi _{N}({\mathbf {r}}_{i})\ \ &&&\vdots \\\psi _{1}({\mathbf {r}}_{N})&\psi _{2}({\mathbf {r}}_{N})&\ldots &\ psi _{i}({\mathbf {r}}_{N})&\ldots &\psi _{N}({\mathbf {r}}_{N})\end{matriz}}\right|

Así, se da la forma antisimétrica general de la función de onda. Por lo general, las funciones de onda de una sola partícula son desconocidas o tienen parámetros desconocidos, que se determinan resolviendo la ecuación de Schrödinger , por ejemplo, mediante el método variacional . Tal procedimiento se usa, en particular, en el método Hartree-Fock para cálculos de mecánica cuántica autoconsistentes. $\psi _{i}({\mathbf{r}})$