Método variacional

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Un método variacional es un método para resolver problemas matemáticos minimizando un cierto funcional utilizando una función de prueba que depende de una pequeña cantidad de parámetros.

Mecánica cuántica

El estado de un sistema mecánico cuántico está determinado por la función de onda, que se encuentra a partir de la ecuación estacionaria de Schrödinger.

\hat{H}\psi = E\psi

donde es el hamiltoniano del sistema. $\ sombrero {H}$

En el caso general de un gran número de partículas (tres partículas ya son muchas en mecánica cuántica), es imposible resolver analíticamente la ecuación de Schrödinger sin usar aproximaciones adicionales.

Funcional

\langle \psi | \sombrero{H}| \psi \rangle = \int \psi^* \hat{H} \psi d\tau

donde la integración se lleva a cabo en todo el espacio de coordenadas, y ψ es una función arbitraria de todas las variables del sistema, tiene un valor mínimo en una determinada función , que corresponde al estado fundamental del sistema y es una solución a la ecuación de Schrödinger . $\psi_0$

El método variacional se utiliza para resolver alguna función de prueba de las variables del sistema , dependiendo de varios parámetros , que satisfagan la condición de normalización. ${\ estilo de visualización \ phi (\ lambda _ {i})}$ $\lambda _{i}$

\langle \phi|\phi \rangle = 1

En este caso

\Phi(\lambda_i, E) = \int \phi^*(\lambda_i) \hat{H} \phi(\lambda_i) d\tau - E \int \phi^*(\lambda_i) \phi(\lambda_i )d\tau

es una función (ya no funcional) de los parámetros y el parámetro adicional E. El mínimo de este funcional sobre todos los parámetros determina la aproximación a la energía del estado fundamental del sistema. Este mínimo se encuentra a partir del sistema de ecuaciones $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$

\frac{\parcial \Phi(\lambda_i, E)}{\parcial \lambda_j} = 0

dada la condición de normalización, o por cualquier otro método de minimización.

El método variacional brinda la mejor aproximación a la energía del estado fundamental para una forma determinada de función de prueba. Con una función de prueba bien elegida, esta aproximación puede ser bastante precisa, difiriendo ligeramente de lo que se observa en el experimento. Una función de prueba bien elegida también permite sacar conclusiones cualitativas sobre el comportamiento de un sistema mecánico cuántico.

La elección de la función de juicio es un cierto arte, no accesible a los simples mortales. Por lo general, esto se basa en ciertas ideas físicas sobre el comportamiento del sistema. Aumentar el número de parámetros en la función de prueba mejora el resultado, pero complica la tarea y, en ocasiones, puede llevar a encontrar un mínimo local falso.