La geometría diofántica es una aproximación a la teoría de las ecuaciones diofánticas que formula problemas en términos de geometría algebraica sobre un campo de base algebraicamente no cerrado K , como el campo de los números racionales o un campo finito , o, más generalmente, un anillo conmutativo . como el anillo de los enteros. La ecuación de identidad define una hipersuperficie , y de la misma manera una ecuación diofántica va a una variedad algebraica V sobre K. Una pregunta típica sobre la naturaleza del conjunto V ( K ) de puntos en V con coordenadas en K es la pregunta sobre el "tamaño" del conjunto de estas soluciones: si tales puntos existen en absoluto, si su número es finito o infinito. . Para el enfoque geométrico, el acuerdo sobre homogeneidad de ecuaciones y homogeneidad de coordenadas es fundamental. Soluciones en números racionales es la convención principal[ especificar ] .
Uno de los resultados característicos de la geometría diofántica es el teorema de Faltings , que establece que el conjunto de puntos racionales de una curva algebraica C de género g > 1 sobre números racionales es finito . El primer resultado de la geometría diofántica probablemente debería considerarse el teorema de Hilbert-Hurwitz, que analiza el caso g = 0.
En 1962, Serge Leng publicó el libro " Geometría diofántica ", que presentaba el material de la manera tradicional en ecuaciones diofánticas en grado y número de variables. El libro Diophantine Equations de Louis Mordell (1969) comienza con un comentario sobre la ecuación homogénea f = 0 sobre un campo racional, atribuida a Gauss , que existen soluciones enteras distintas de cero si y solo si existen soluciones racionales distintas de cero, y un comentario sobre las objeciones de Linord Dixon sobre las soluciones paramétricas. Los resultados de Hilbert y Hurwitz, obtenidos en 1890, restringiendo la geometría diofantiana de curvas de tipo 0 a potencias de 1 y 2 ( secciones cónicas ) se describen en el Capítulo 17, donde se formula una generalización para curvas g > 1 (más tarde conocida como la conjetura de Mordell, y se convirtió en el teorema Faltings después de la prueba de la afirmación). El teorema de Siegel sobre los puntos enteros se analiza en el Capítulo 28. El teorema de Mordell-Weil sobre el número finito de números racionales en una curva elíptica se presenta en el Capítulo 16, y el de los enteros en la curva de Mordell en el Capítulo 26. Al mismo tiempo, Mordell habló negativamente sobre el enfoque geométrico utilizado por Leng.
Sin embargo, el concepto de Leng de confiar en la intuición geométrica más tarde ganó popularidad, y en 2006 fue llamado "visionario" [1] [2] .