Sección cónica
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 21 de junio de 2022; la verificación requiere 1 edición .Una sección cónica , o cónica [1] , es la intersección de un plano con la superficie de un cono circular recto . Hay tres tipos principales de secciones cónicas: elipse , parábola e hipérbola , además, existen secciones degeneradas: punto , línea y par de líneas. El círculo se puede considerar como un caso especial de la elipse . Además, una parábola se puede considerar como un caso extremo de una elipse, uno de cuyos focos está en el infinito.
Las secciones cónicas se pueden obtener como la intersección de un plano con un cono de dos lados
(en coordenadas cartesianas )
Aquí
es el ángulo entre la generatriz del cono y su eje.
Si el plano pasa por el origen , se obtiene una sección degenerada. En el caso no degenerado,
- si el plano de corte corta todos los generadores del cono en los puntos de una de sus cavidades, obtenemos una elipse,
- si el plano de corte es paralelo a uno de los planos tangentes del cono, obtenemos una parábola,
- si el plano de corte corta ambas cavidades del cono, obtenemos una hipérbola.
La ecuación de un cono circular es cuadrática, por tanto, todas las secciones cónicas son cuadráticas , también todas las cuadráticas del plano son secciones cónicas (aunque dos rectas paralelas forman una cuadrática degenerada, que no se puede obtener como sección de un cono, pero sí obtenerse como una sección de un cilindro - un cono degenerado, y generalmente se considera una "sección cónica degenerada").
Historia
Las secciones cónicas eran conocidas por los matemáticos de la antigua Grecia .
La obra más completa dedicada a estas curvas fueron las "Secciones cónicas" de Apolonio de Perge (alrededor del 200 a. C.). Aparentemente fue el primero en describir los focos de la elipse y la hipérbola [2] :41 .
Pappus de Alejandría fue el primero en describir el foco de una parábola y derivó la ecuación general para una sección cónica como el lugar geométrico de los puntos para los cuales la relación entre las distancias al punto focal y la directriz es constante [2] :48 .
Excentricidad
Todas las secciones cónicas no degeneradas, excepto el círculo , se pueden describir de la siguiente manera:
Elijamos un punto y una línea en el plano y establezcamos un número real . Entonces el lugar geométrico de los puntos , para los cuales la distancia al punto ya la línea difieren por un factor, es una sección cónica. El punto se llama foco de la sección cónica, la recta es la directriz y el número es la excentricidad .
Dependiendo de la excentricidad, resultará:
Para un círculo se supone (aunque en realidad en GMT es solo un punto ).
La excentricidad está relacionada con los parámetros del cono y la ubicación del plano de corte en relación con el eje del cono mediante la siguiente relación [3] :46.47 :
aquí - el ángulo de inclinación del plano secante al eje del cono, - el ángulo entre la generatriz y el eje del cono, igual a la mitad del ángulo de apertura del cono. De esta fórmula se puede ver que al intersecar un cono dado con un plano, se puede obtener una elipse con cualquier excentricidad, una parábola y una hipérbola solo se puede obtener una cuya excentricidad no exceda . Este valor máximo se alcanza cuando un cono dado es cortado por un plano paralelo a su eje.
Bolas de diente de lin
Algunas propiedades importantes de las secciones cónicas se obtienen al considerar dos bolas que son tangentes a una sección cónica y un cono: las bolas Dandelin . Por ejemplo, con su ayuda se establece el significado geométrico del foco, directriz y excentricidad de una sección cónica [3] :46,47 .
Propiedades
- A través de cinco puntos en el plano, de los cuales tres no se encuentran en la misma línea recta, se puede dibujar una sección cónica única.
- Los caballos tienen los llamados. propiedades ópticas. Más conocida y más aplicable es la propiedad óptica de la elipse : la luz de una fuente en un foco se refleja en un espejo elíptico, de modo que los rayos se recogen en otro foco. Dado que una parábola puede considerarse como un caso extremo de una elipse, tiene una propiedad similar: la luz de una fuente que está enfocada es reflejada por la parábola, de modo que todos los rayos reflejados son paralelos (es decir, se cruzan en un punto en el infinito). Una hipérbola también tiene una propiedad óptica : la luz de una fuente ubicada en un foco es reflejada por la hipérbola de modo que las continuaciones de los rayos reflejados se cruzan en otro foco. De las propiedades ópticas se deduce que la elipse y la hipérbola, que tienen focos comunes, son perpendiculares (es decir, las tangentes a ellas en los puntos de intersección son perpendiculares).
- Si consideramos los segmentos que corta la cónica en una familia arbitraria de líneas paralelas, los puntos medios de todos esos segmentos se encontrarán en una línea recta. Esta recta se llama diámetro de la cónica; cada familia de secantes paralelas tiene su propio diámetro. El diámetro siempre pasa por el centro de la cónica, el medio del segmento que conecta los focos. En el caso de una elipse y una hipérbola, el centro es un punto del plano euclidiano, en el caso de una parábola, es un punto infinitamente distante en la misma dirección que el foco "infinito", es decir, de hecho, coincide con el foco.
- Propiedad isogonal: si desde un punto del plano se pueden trazar dos tangentes a una cónica, entonces estas tangentes son isogonales en el ángulo formado por las rectas que unen el punto con los focos de la cónica. En otras palabras, si es un punto en el plano, es una cónica con focos y , son tangentes a , entonces , donde el símbolo denota un ángulo dirigido u orientado . Un caso especial de la propiedad isogonal, en el caso de que el punto se encuentre en una cónica y dos tangentes se "fusionen" en una, es la propiedad óptica mencionada anteriormente.
- Teorema de Pascal: si un hexágono (no necesariamente convexo) está inscrito en una cónica, entonces los puntos de intersección de tres pares de lados opuestos se encuentran en la misma línea.
- Teorema de Brianchon: si un hexágono está circunscrito cerca de una cónica, entonces tres diagonales que conectan vértices opuestos de este hexágono pasan por un punto. El teorema de Brianchon es dual al teorema de Pascal.
- Teorema de Fregier: sean dadas una cónica y un punto sobre ella. Entonces todas las cuerdas de la cónica, vistas desde el punto en ángulo recto, pasan por un punto.
- El hecho anterior admite una generalización: todas las cuerdas vistas desde un punto forman un ángulo igual o tangente a alguna cónica. [cuatro]
- Lema de Sollertinsky: seaun punto arbitrario ysea una transformación proyectiva . Entonces el conjunto de los puntos de interseccióny, por dondepasa la recta, es una cónica que pasa por los puntos y.
Dualidad polar
Fijamos un círculo en el plano . Cualquier punto del plano puede asociarse con su polar relativo , y viceversa, cualquier línea recta puede asociarse con su polo. La transformación resultante, que asocia líneas con puntos y puntos con líneas, se llama correspondencia polar y es una involución , las imágenes de puntos y líneas bajo tal transformación se llaman imágenes duales. Una correspondencia polar se puede definir no solo con respecto a un círculo, sino también con respecto a cualquier cónica - en este caso, será una composición de una transformación proyectiva que lleva esta cónica a un círculo, una correspondencia polar con respecto a este círculo, y una transformación proyectiva inversa.
La imagen dual de una curva suave es el conjunto de imágenes duales de todas las tangentes a esta curva. Entonces es cierto que la imagen dual de una cónica también es una cónica. Por lo tanto, algunos enunciados, como los teoremas de Pascal y Brianchon, son duales polares entre sí.
Transformar grupos
- La excentricidad de dos secciones cónicas no degeneradas es la misma si y solo si pueden traducirse entre sí mediante una transformación de similitud .
- Las transformaciones afines conservan solo el signo de la excentricidad, es decir desde el punto de vista de la geometría afín , solo hay tres secciones cónicas no degeneradas diferentes: la elipse, la parábola y la hipérbola.
- Todas las secciones cónicas no degeneradas son indistinguibles en geometría proyectiva .
Representación de coordenadas
Coordenadas cartesianas
En coordenadas cartesianas, las secciones cónicas se describen mediante un polinomio cuadrático general :
En otras palabras, las secciones cónicas son curvas de segundo orden . signo discriminante
define el tipo de sección cónica.
- Si el discriminante es menor que cero, entonces es una elipse , un punto o el conjunto vacío .
- Si el discriminante es cero, entonces es una parábola , una recta o un par de rectas paralelas.
- Si el discriminante es mayor que cero, entonces es una hipérbola o un par de líneas que se cruzan.
Coordenadas polares
En coordenadas polares , con centro en uno de los focos y dirección cero a lo largo del eje principal, la sección cónica se representa por la ecuación
donde e es la excentricidad y l es el parámetro focal.
Trayectorias en el campo de la gravedad y fuerzas similares
En el marco de la mecánica clásica , la trayectoria de un punto material o un cuerpo rígido con simetría esférica en el campo de una fuerza que obedece la ley del inverso del cuadrado es una de las secciones cónicas: una parábola, una hipérbola, una elipse (en particular, un círculo) o una línea recta.
En el caso de que tal fuerza sea una fuerza de atracción, todas estas trayectorias son posibles (dependiendo de las condiciones iniciales); si es una fuerza repulsiva, entonces solo son posibles las líneas rectas y las hipérbolas.
La trayectoria de movimiento de un cuerpo (o su centro de masa en el caso de cualquier cuerpo no puntual) en el campo de una fuerza constante uniforme [5] en el marco de la mecánica clásica es una parábola exacta.
Esta conclusión es válida no sólo para una posición fija (inmóvil) del centro de fuerza [6] , sino también para la interacción de dos cuerpos puntuales o esféricos de masa comparable [7] .
La segunda afirmación en el marco de la mecánica clásica es exacta (en la práctica, es tan precisa como exactamente cómo la fuerza de interacción satisface la ley del inverso del cuadrado y no hay otras fuerzas).
Para más de dos cuerpos que interactúan, todo esto, en términos generales, no es cierto (es decir, las órbitas pueden ser secciones cónicas exactas exactamente solo en casos especiales raros, bajo condiciones iniciales especiales seleccionadas), pero puede ser una buena aproximación en el caso de un cuerpo central masivo e interactuando relativamente débilmente con otros cuerpos mucho menos masivos, en particular para el sistema solar en su conjunto, con la excepción de los cuerpos celestes pequeños, que a veces se acercan demasiado a los planetas.
Físicamente, la situación puede denominarse interacción de cuerpos puntuales (que tienen un tamaño muy pequeño en comparación con la distancia a otros cuerpos) o cuerpos esféricos bajo la acción de fuerzas gravitatorias que obedecen a la ley de la gravitación universal (esta ley es una aproximación bastante buena). descripción de la interacción gravitacional real en la mayoría de los casos, con la que chocamos dentro del sistema solar) y/o fuerzas electrostáticas que obedecen la ley de Coulomb [8] .
Para que las trayectorias de los cuerpos sean secciones cónicas [9] , es importante que se cumplan las condiciones de número y/o masas de cuerpos que interactúan descritas anteriormente, y que idealmente no existan (prácticamente despreciables o, a veces, bien compensadas) todas las demás fuerzas, como, por ejemplo, las fuerzas de arrastre aerodinámicas (para esto, por ejemplo, se necesita una suficiente rarefacción del medio, se necesita vacío), pérdidas por radiación (en el caso del movimiento de cuerpos cargados eléctricamente, se pueden ser significativas, en el marco de la gravedad newtoniana, tales pérdidas son siempre iguales a cero, sin embargo, en realidad, las pérdidas debidas a la radiación de las ondas gravitacionales pueden notarse durante la interacción de objetos cercanos masivos y que se mueven rápidamente). Además del arrastre aerodinámico habitual, fuerzas como la fuerza de presión y la fuerza de arrastre debida al viento solar pueden ser significativas.
Cuando se mueven cuerpos cósmicos, por regla general, estas condiciones se cumplen al menos hasta cierto punto, de modo que la sección cónica es una aproximación aceptable, ya menudo muy buena, de la órbita real (durante algún tiempo).
En el sistema solar, las órbitas de los planetas son elipses con una aproximación bastante buena (la desviación de la elipticidad exacta es mayor para Mercurio), las trayectorias de los cometas son elipses, hipérbolas [10] ; las trayectorias de los cometas son a menudo "casi parabólicas" [11] (ver también Mecánica celeste ).
La trayectoria de vuelo de una bala de cañón en el campo gravitatorio de la Tierra, sin tener en cuenta la influencia del aire, es un arco de elipse próximo a una parábola (ya que la velocidad de la bala de cañón es mucho menor que la primera cósmica).
En un laboratorio pequeño (en comparación con el radio de la Tierra), el campo gravitatorio puede considerarse uniforme y constante. Si el aire se bombea lo suficientemente bien en un laboratorio de este tipo, entonces la trayectoria de una piedra lanzada en él será casi una parábola exacta (o una línea recta) [12] . En condiciones normales (presencia de aire), las trayectorias de los cuerpos lanzados, en general, son bastante diferentes de las parábolas y las líneas rectas (con la excepción de un lanzamiento estrictamente vertical), sin embargo, a bajas velocidades y distancias de vuelo cortas, pueden estar muy cerca de una parábola.
Véase también
- cuádrica
- Curva de segundo orden
- constante cónica
- Cono
- cubo
- superficie de segundo orden
- teorema de pascual
- teorema de Brianchon
- figuras de lissajous
- diseño de steiner
Notas
- ↑ Diccionario ruso-inglés de las ciencias matemáticas AJ de Lohwater. Editado por R. P. Boas. 1990. página 162
- ↑ 1 2 Florian Cajori, A History of Mathematics, 5ª edición 1991
- ↑ 1 2 Pogorelov A. V. Geometría. — M .: Nauka , 1983. — 288 p.
- ↑ AV Akopyan, A.A. Zaslavsky. Propiedades geométricas de curvas de segundo orden . — M.: MTsNMO, 2007. — S. 79 .
- ↑ Se entiende una fuerza cuya magnitud y dirección son las mismas en todas partes en la región de movimiento considerada y son constantes en el tiempo; otras fuerzas que violarían esta propiedad se consideran ausentes. En otras palabras, en este caso, el cuerpo siempre se ve afectado por la misma fuerza constante en dirección y magnitud. En la práctica, esta puede ser la resultante de varias fuerzas que satisfagan la condición descrita, y las posibles desviaciones, si no exactamente nulas, son pequeñas, entonces la parábola será una solución aproximada para la trayectoria.
- ↑ Esta opción se implementa con buena precisión en el caso de que la masa de uno de los cuerpos que interactúan sea mucho mayor que la masa del segundo. Entonces el primer cuerpo está (casi) inmóvil y, en consecuencia, el centro de la fuerza que actúa sobre el segundo cuerpo está inmóvil.
- ↑ En este caso, es fácil demostrar que el centro de masa del sistema de cuerpos que interactúan desempeñará el papel de un centro de fuerza fijo, y la fuerza que actúa sobre cada uno de los dos cuerpos será inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a este centro.
- ↑ En la práctica, este caso de movimiento clásico bajo condiciones de interacción puramente electrostática es menos importante y bastante raro, ya que es bastante raro encontrar el caso de la presencia de una interacción predominantemente electrostática con la pequeñez comparativa de otras fuerzas, pero teóricamente es posible.
- ↑ En realidad, esto solo es posible aproximadamente, pero estamos hablando de que es al menos una aproximación lo suficientemente buena.
- ↑ Hughes D.U. Sobre los cometas hiperbólicos // Diario de la Asociación Astronómica Británica. - 1991. - vol. 101, núm. 2 . - P. 119-120 .
- ↑ Características de la captura de cometas tipo Halley desde órbitas casi parabólicas
- ↑ Estrictamente hablando, solo si la Tierra no rotara; la rotación de la Tierra distorsiona la trayectoria real, aunque débilmente.
Literatura
- A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky Propiedades geométricas de las curvas de segundo orden, - M.: MTsNMO , 2007. - 136 p.
- I. N. Bronshtein, Propiedades generales de las secciones cónicas , Kvant , n.º 5, 1975.
- D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, Geometría visual , capítulo I.
- R. Courant, G. Robbins, ¿Qué son las matemáticas? Capítulo IV, § 8.
- AI Markushevich Curvas notables "Conferencias populares sobre matemáticas". Número 04
- Mantón, Michel . Sobre la propiedad anarmónica de los puntos de una sección cónica , etc. // Reseña histórica del origen y desarrollo de los métodos geométricos. T. 2. Aprox. XV-XVI. M, 1883.
Enlaces
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