Complemento de Schur

El complemento de Schur es una matriz cuadrada que se obtiene dividiendo una matriz cuadrada en cuatro partes.

Definición

Representemos una matriz cuadrada en forma de bloques: $A$

A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}

donde son las matrices de dimensiones , respectivamente. ${\displaystyle A_{11},A_{12},A_{21},A_{22))$ $n\times n,n\times m,m\times n,m\times m$

La matriz se llama complemento de Schur de la matriz en la matriz [1] . ${\displaystyle \left(A/A_{11}\right)=A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12))$ ${\ estilo de visualización A_ {11}}$ $A$

Propiedades

usando el complemento de Schur, se puede calcular el determinante de la matriz . Si , entonces ; $|A|$ ${\ estilo de visualización | A_ {11} | \ neq 0}$ $|A|=|A_{11}|\cdot |A/A_{11}|$
El complemento de Schur se utiliza para reducir el problema algorítmico de la inversión de matrices al problema de la multiplicación de matrices , para el cual existen muchos algoritmos rápidos especializados. [2]

Literatura

Prasolov VV Problemas y teoremas de álgebra lineal. — M .: Nauka, 1996. — 304 p.

A. Aho, J. Hopcroft, J. Ullman. Construcción y análisis de algoritmos computacionales . — M .: Mir, 1979. — 536 p. Archivado el 13 de enero de 2019 en Wayback Machine .

Notas

↑ Problemas y teoremas de álgebra lineal, 1996 , p. treinta.
↑ Construcción y análisis de algoritmos computacionales, 1979 , p. 262-263, Lemas 6.5, 6.6, Teorema 6.2.