Matriz de Jordan

La matriz de Jordan es una matriz diagonal de bloques cuadrados sobre el campo , con bloques de la forma ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$

J_{\lambda}={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0&0\\0&\lambda &1&\cdots &0&0\\0&0&\lambda &\ddots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots & \ddots &\vdots \\0&0&0&\ddots &\lambda &1\\0&0&0&\cdots &0&\lambda \\\end{pmatrix}}.

Cada bloque se denomina celda de Jordan con un valor propio (los valores propios en diferentes bloques generalmente pueden ser los mismos). $J_{\lambda}$ $\lambda$

De acuerdo con el teorema de la forma normal de Jordan, para una matriz cuadrada arbitraria sobre un campo algebraicamente cerrado (como el campo de los números complejos ), existe una matriz cuadrada no degenerada (es decir, invertible, con un determinante distinto de cero) sobre , tal que $A$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$ $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ $C$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$

J=C^{{-1}}A\,C

es una matriz de Jordan. Esto se llama la forma de Jordan (o forma normal de Jordan ) de la matriz . En este caso, también se dice que la matriz de Jordan en el campo es similar (o conjugada ) a la matriz dada . Y viceversa, por la relación de equivalencia $j$ $A$ $j$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$ $A$

A=CJC^{{-1}}

la matriz es similar en el campo a la matriz . Es fácil mostrar que la relación de similitud introducida de esta manera es una relación de equivalencia y divide el conjunto de todas las matrices cuadradas de un orden dado sobre un campo dado en clases de equivalencia disjuntas. La forma de Jordan de una matriz no está definida de manera única, sino hasta el orden de las celdas de Jordan. Más precisamente, dos matrices de Jordan son similares si y solo si están compuestas por las mismas celdas de Jordan y difieren entre sí solo por la ubicación de estas celdas en la diagonal principal. $A$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$ $j$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$

Propiedades

El número de celdas de orden de Jordan con un valor propio en la forma de Jordan de la matriz se puede calcular mediante la fórmula $norte$ $\lambda$ $A$ $c_{n}(\lambda)=\operatorname {rango}(A-\lambda I)^{{n-1}}-2\operatorname {rango}(A-\lambda I)^{{n}}+ \operatorname {rango}(A-\lambda I)^{{n+1}},$

donde es la matriz identidad del mismo orden que , el símbolo denota el rango de la matriz y , por definición, es igual al orden de . La fórmula anterior se sigue de la igualdad

yo

A

\operatorname {rango}

\operatorname {rango}(A-\lambda I)^{0}

A

\operatorname {rango}(A-\lambda I)=\operatorname {rango}(J-\lambda I).

Si el campo no es algebraicamente cerrado , para que la matriz sea semejante sobre alguna matriz de Jordan, es necesario y suficiente que el campo contenga todas las raíces del polinomio característico de la matriz . ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$ $A$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$ $A$
En una matriz hermítica , todas las celdas de Jordan tienen tamaño 1.
Es la matriz de un operador lineal en base canónica.
Las formas de Jordan de dos matrices similares coinciden hasta el orden de las celdas.

Historia

Jordan fue uno de los primeros en considerar tal forma de matriz .

Variaciones y generalizaciones

Sobre el campo de los números reales, los valores propios de la matriz (es decir, las raíces del polinomio característico) pueden ser tanto reales como complejos, y los valores propios complejos, si los hay, están presentes en pares junto con sus complejos conjugados: , donde y son números reales, . En el espacio real, tal par de valores propios complejos corresponde al bloque , y las matrices que contienen también bloques de la forma correspondiente a pares de valores propios complejos se agregan al tipo anterior de matrices de Jordan : [1] [2] $\lambda _{{1,2}}=\alpha \pm i\beta$ $\alfa$ $\beta$ $\beta \neq 0$ $J_{{\lambda_{{1,2))))$ $J_{{\lambda_{{1,2))))$

J_{{\lambda_{{1,2}}}}=\left({\begin{matriz}{cccccccccc}\alpha &\beta &1&0&0&0&\cdots &0&0&0&0\\-\beta &\alpha &0&1&0&0&\cdots &0&0&0&0\ \0&0&\alfa &\beta &1&0&\cdots &0&0&0&0\\0&0&-\beta &\alfa &0&1&\ddots &0&0&0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots & \vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots & \vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&0&0&\cdots &\alpha &\beta &1&0\\0&0&0&0&0&0&\cdots &-\beta &\alpha &0&1\\0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&\alpha &\beta \\0&0&0&0&0&0&\cdots &0&0&-\beta &\alpha \\\end{array}}\right).

El teorema de la forma normal de Jordan es un caso especial del teorema sobre la estructura de módulos finitamente generados sobre dominios ideales principales . De hecho, la clasificación de matrices corresponde a la clasificación de operadores lineales , y los espacios vectoriales sobre un campo con un operador lineal fijo corresponden biyectivamente a módulos sobre un anillo polinomial (la multiplicación de un vector por se da como una aplicación de un operador lineal). ${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {K} [x]}$ $X$

Además de la forma normal de Jordan, se consideran otros tipos de formas normales de matriz (por ejemplo, la forma normal de Frobenius ). Se consideran, en particular, cuando el cuerpo fundamental no contiene todas las raíces del polinomio característico de la matriz dada.

Véase también

Forma canónica de Weir

Notas

↑ Faddeev D.K. Conferencias sobre álgebra. Moscú: Nauka, 1984.
↑ Horn R. (Roger A. Horn), Johnson C. (Charles C. Johnson) Análisis matricial. — M .: Mir, 1989 ( ISBN 5-03-001042-4 ).

Literatura

Halmos P. Espacios vectoriales de dimensión finita. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 págs.
Gantmakher F. R. Teoría de la matriz. — M .: Nauka, 1966. — 576 p.
Horn R. (Roger A. Horn), Johnson C. (Charles C. Johnson). Análisis matricial. — M .: Mir, 1989, 655 p., il. ( ISBN 5-03-001042-4 ).
Gelfand I. M. Conferencias sobre álgebra lineal, Moscú: Nauka, 1971.
Faddeev D. K. Conferencias sobre álgebra. Moscú: Nauka, 1984.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, Fizmatlit, Moscú, 2009.
Kim, G. D. Álgebra lineal y geometría analítica, Moscú, 2005.
V. V. Kolybasova, N. Ch. Krutitskaya, A. V. Ovchinnikov. Matriz de operadores de formulario de Jordan
P. Aluffi. Álgebra: Capítulo 0 (Estudios de Posgrado en Matemáticas). - Sociedad Matemática Estadounidense, 2009 - ISBN 0-8218-4781-3 .