Matrices similares
Se dice que las matrices cuadradas A y B del mismo orden son semejantes si existe una matriz no singular P del mismo orden tal que:
Matrices similares se obtienen especificando la misma transformación lineal por una matriz en diferentes sistemas de coordenadas ; en este caso, la matriz Р es la matriz de transición de un sistema a otro.
Si dos matrices son semejantes, se dice que una de las matrices se obtiene por transformación de semejanza de la otra. Si, además, una de las matrices es diagonal , entonces se dice que la segunda matriz es diagonalizable.
Propiedades
La relación de similitud de matrices es una relación de equivalencia en el espacio de matrices cuadradas.
Estas matrices comparten muchas características, a saber:
- rango
- determinante
- pista
- valores propios (pero los vectores propios pueden no coincidir)
- polinomio característico
- Forma de Jordan hasta permutación de celdas.
Se puede demostrar que cualquier matriz A es similar a A T .
Formas canónicas de matrices similares
A menudo surge la pregunta de cuánto se puede simplificar la forma de una transformación lineal dada cambiando la base (es decir, el sistema de coordenadas). Dado que las matrices resultantes son similares, esto es lo mismo que buscar alguna forma canónica de una matriz en la clase de equivalencia de matrices similares a la matriz de esta transformación lineal.
La forma más simple sería, por supuesto, una matriz diagonal , pero no todas las matrices se pueden reducir a una forma diagonal (una excepción importante son las matrices reales simétricas y hermitianas , que siempre se pueden diagonalizar).
Hay varias formas canónicas de matrices más complejas a las que se puede reducir cualquier matriz mediante una transformación de similitud: