El problema de Riemann sobre el decaimiento de una discontinuidad arbitraria

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El problema de Riemann del decaimiento de una discontinuidad arbitraria es el problema de construir una solución analítica para las ecuaciones no estacionarias de la mecánica continua , aplicadas al decaimiento de una discontinuidad arbitraria [1] . Completamente resuelto en un círculo limitado de casos especiales: para las ecuaciones de la dinámica de gas de un gas ideal y algunas aproximaciones más precisas (el llamado gas con una ecuación de estado de dos términos ) y ecuaciones de la teoría de aguas poco profundas . La solución para las ecuaciones de la dinámica magnética de los gases puede construirse, aparentemente, hasta la necesidad de una solución numérica de una ecuación diferencial ordinaria bastante complicada.

Puesta en escena

Se está resolviendo el problema unidimensional de la desintegración por discontinuidad, es decir, se supone que antes del momento inicial, dos regiones del espacio con diferentes valores de parámetros termodinámicos (para la dinámica de los gases, esta es la densidad, la velocidad, la y presión del gas) fueron separados por un tabique delgado, y en el momento inicial del tiempo, se retira el tabique. Se requiere construir una solución (es decir, la dependencia de todos los parámetros termodinámicos del tiempo y las coordenadas) para valores iniciales arbitrarios de las variables. $t=0$

La solución al problema del decaimiento de una discontinuidad arbitraria es determinar el flujo dinámico de gas que ocurre en . En otras palabras, estamos hablando de resolver el problema de Cauchy para las ecuaciones de la dinámica de los gases , en el que las condiciones iniciales se dan en forma de una discontinuidad arbitraria descrita anteriormente. ${\ estilo de visualización t> 0}$

Solución

Resulta que para sistemas de ecuaciones escritos en forma divergente, la solución será autosimilar .

La solución se busca en forma de un conjunto de ondas elementales, determinadas por la estructura del sistema de ecuaciones. En particular, para la dinámica de gases, estos son: onda de choque, onda de rarefacción , discontinuidad de contacto . Presentemos la solución de forma explícita para el caso particular de un gas ideal en reposo con exponente adiabático . Sea en el momento inicial que la presión , la densidad y la velocidad tengan la forma: $\gama$ $PAGS$ $\rho$ $v$

	$x<0$	$x>0$
$v(x)$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$
$\rho (x)$	${\ estilo de visualización \ rho _ {L}}$	${\ estilo de visualización \ rho _ {R}}$
$P(x)$	$P_{L}$	$P_{R}$

y - la onda va a la derecha. Entonces, en un momento arbitrario de tiempo, la solución tiene la forma $P_{L}>P_{R}$ $t$

	${\ estilo de visualización x <-c_ {L} t}$	$-c_{L}t<x<(v_{2}-c_{2})t$	$(v_{2}-c_{2})t<x<v_{2}t$	$v_{2}t<x<Dt$	${\ estilo de visualización x> dt}$
	materia imperturbable	onda de rarefacción	Región entre el frente de onda de rarefacción y la discontinuidad de contacto	La región entre la discontinuidad de contacto y el frente de onda de choque.	materia imperturbable
$v(x)$	${\ estilo de visualización 0}$	$\displaystyle v_{2}{\frac {x+c_{L}t}{(v_{2}-c_{2}+c_{L})t))$	$v_{2}$	$v_{2}$	${\ estilo de visualización 0}$
$\rho (x)$	${\ estilo de visualización \ rho _ {L}}$	$\displaystyle \rho _{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{ \frac{2}{\gamma-1}}$	$\rho _{2}$	$\rho_{1}$	${\ estilo de visualización \ rho _ {R}}$
$P(x)$	$P_{L}$	$\displaystyle P_{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}$	$P_2$	$P_2$	$P_{R}$

Aquí , es la velocidad del sonido en el medio no perturbado de la izquierda, , , , son los parámetros de gas y la velocidad del sonido entre el frente de onda de choque y la discontinuidad de contacto, , , son los parámetros de gas entre la discontinuidad de contacto y la onda de choque, y es la velocidad de la onda de choque. Estos cinco parámetros se determinan a partir de un sistema no lineal de ecuaciones que corresponden a las leyes de conservación de la energía, la masa y el momento: ${\displaystyle c_{L}={\sqrt {\gamma P_{L}/\rho_{L})))$ $v_{2}$ $P_2$ $\rho _{2}$ ${\displaystyle c_{2}={\sqrt {\gamma P_{2}/\rho_{2})))$ $v_{2}$ $P_2$ $\rho_{1}$ $D$

{\ estilo de visualización \ estilo de visualización \ rho _ {1} = \ rho _ {R} {\ frac {D} {D-v_ {2}}}}

\displaystyle D={\frac {P_{2}-P_{R}}{\rho_{R}v_{2}}}

\displaystyle P_{2}=P_{R}{\frac {(\gamma +1)\rho _{1}-(\gamma -1)\rho _{R}}{(\gamma +1 )\rho _{R}-(\gamma -1)\rho _{1}}}

\displaystyle {\frac {P_{L}}{\rho _{L}^{\gamma }}}={\frac {P_{2}}{\rho _{2}^{\gamma } }}

\displaystyle v_{2}={\frac {2}{\gamma -1}}\left(c_{L}-c_{2}\right)={\frac {2c_{L}}{\ gamma -1))\left(1-\left({\frac {\rho _{2)){\rho _{L))}\right)^{\frac {\gamma -1}{2)) \Correcto)

Las primeras tres ecuaciones aquí corresponden a las relaciones de Hugoniot para un gas ideal [2] , la cuarta y quinta - a las relaciones en la onda de rarefacción [3] .

Aplicación

La solución del problema de Riemann encuentra aplicación en métodos numéricos para resolver problemas no estacionarios con grandes discontinuidades. Es en la solución (exacta o aproximada) del problema de Riemann del decaimiento de la discontinuidad que se basa el método de Godunov para la resolución de sistemas de ecuaciones no estacionarias de mecánica continua.

Notas

↑ Riemann, Bernard. über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite (Deutsch) // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften en Göttingen. - 1860. - T. 8 . - S. 43-66 . Archivado desde el original el 24 de julio de 2020.
↑ Zeldovich Ya. B., Raiser Yu. P. Física de ondas de choque y fenómenos hidrodinámicos de alta temperatura. - Moscú: Nauka , 1966. - S. 51. - 688 p.
↑ Zeldovich Ya. B., Raiser Yu. P. Física de ondas de choque y fenómenos hidrodinámicos de alta temperatura. - Moscú: Nauka , 1966. - S. 41. - 688 p.