Ley de Biot-Savart-Laplace

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La ley de Biot-Savár-Laplace (también la ley de Biot-Savár ) es una ley física para determinar el vector de inducción de un campo magnético generado por corriente eléctrica continua . Establecido experimentalmente por Biot y Savart y formulado de manera general por Laplace .

De acuerdo con esta ley, la inducción magnética en el vacío, creada por la distribución espacial de la densidad de corriente , en un punto con un radio vector es (en SI ) ${\ estilo de visualización \ mathbf {j} (\ mathbf {r})}$ $\mathbf {r} _{0}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \ mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}}

donde es el elemento de volumen, y la integración se realiza sobre todas las áreas, donde (el vector corresponde al punto actual durante la integración). También hay una fórmula para el vector potencial del campo magnético . $dV$ $\mathbf {j} (\mathbf {r} )\neq 0$ $\mathbf{r}$ $\matemáticas {A}$

El papel de la ley de Biot-Savart-Laplace en la magnetostática es similar al papel de la ley de Coulomb en la electrostática. Es ampliamente utilizado para calcular el campo magnético a partir de una distribución dada de corrientes.

En la metodología moderna, la ley de Biot-Savart-Laplace, por regla general, se considera como una consecuencia de dos ecuaciones de Maxwell para un campo magnético bajo la condición de un campo eléctrico constante.

La ley Biot-Savart en varios casos

La ley de Biot-Savart se utiliza para calcular el campo magnético de las corrientes en el vacío. También se puede utilizar en el caso de un medio con permeabilidad magnética independiente de las coordenadas (entonces se reemplaza en todas partes por ). Pero en presencia de un imán no homogéneo , las fórmulas son inaplicables, ya que para obtener la integración habría que incluir tanto las corrientes de conducción como las corrientes moleculares, y estas últimas no se conocen de antemano. $\mu$ $\mu_{0}$ $\mu_{0}\mu$ $\matemáticas {B}$

Para corrientes que fluyen a través de un conductor delgado

Deje que una corriente continua fluya a través de un circuito (conductor) en el vacío, el punto en el que se busca el campo. Luego , la inducción del campo magnético en este punto se expresa mediante la integral (en el sistema de unidades SI ) $yo$ $\gama$ $\mathbf {r} _{0}$

\mathbf {B} (\mathbf {r}_{0})={\mu_{0} \over 4\pi }\int \limits_{\gamma}}{\frac {I[d\ mathbf {r} \times (\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} )]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}}

donde los corchetes denotan el producto vectorial , es la posición de los puntos del contorno , es el vector del elemento del contorno (la corriente fluye a lo largo de él); es la constante magnética . $\mathbf{r}$ $\gama$ $d\mathbf {r}$ $\mu_{0}$

El vector potencial viene dado por la integral (en el sistema SI )

\mathbf {A} (\mathbf {r}_{0})={\mu_{0} \over 4\pi }\int \limits_{\gamma}}{\frac {I(\mathbf {r} )d\mathbf {l} }{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |}}

El contorno puede tener ramas. En este caso, la expresión anterior debe entenderse como la suma de las ramas, el término para cada rama es una integral de la forma escrita. Para un circuito simple (no ramificado) (y bajo las condiciones de aproximación magnetostática, que implican la ausencia de acumulación de carga), la corriente es la misma en todas las secciones del circuito y se puede sacar del signo integral. $\gama$ $yo$

Si tomamos como punto de partida el punto en el que necesita encontrar el vector de inducción magnética, entonces la fórmula se simplifica ligeramente: ${\ estilo de visualización \ mathbf {r} _ {0} = 0}$

d{\vec {B}}={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r}}]} {r^{3}}}

donde es el vector que describe la curva del conductor con corriente , es el módulo , es el vector de inducción magnética creado por el elemento conductor . ${\ vec {r))$ $yo$ $r$ ${\ vec {r))$ $d{\vec B}$ $d{\vec r}$

La dirección es perpendicular al plano que contiene los vectores y . La dirección del vector de inducción magnética se puede encontrar mediante la regla del tornillo derecho : la dirección de rotación de la cabeza del tornillo da la dirección si el movimiento de traslación del gimlet corresponde a la dirección de la corriente en el elemento. El módulo del vector viene dado por (en SI ) $d{\mathbf B}$ $d{\mathbf l}\equiv d{\mathbf r}$ ${\mathbf{r}}-{\mathbf{r}}_{0}$ $d{\mathbf B}$ $d{\mathbf B}$

dB={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {Idl\sin \alpha }{r^{2))},

donde es el ángulo entre el vector (el vector de radio dibujado desde el elemento conductor hasta el punto donde se busca el campo) y el elemento conductor. $\alfa$ ${\mathbf{r}}-{\mathbf{r}}_{0}$ $d{\mathbf l}\equiv d{\mathbf r}$ $d{\mathbf l}\equiv d{\mathbf r}$

El campo en el centro del ring

Encontremos el campo magnético en el centro de una bobina anular de radio con corriente . Hagamos coincidir el origen con el punto donde se busca la inducción. El radio vector del elemento actual que crea el campo (elemento del arco del anillo) se escribirá como , donde es el vector unitario en el plano del anillo, dirigido desde el centro. El elemento arco se escribe como , donde es el vector unitario tangente al círculo. Según la fórmula de Biot-Savart, $R$ $yo$ ${\ vec {r))$ ${\vec {r}}=R{\vec {e}}_{r}$ ${\vec{e}}_{r}$ $d{\vec {r}}=d{\vec {l}}=dl\,{\vec {e}}_{\varphi }$ ${\vec {e}}_{\varfi}$

d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[{\vec {r}}\times d{\vec {r }}]}{r^{3}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[R{\vec {e}}_{r}\times dl\,{\vec {e}}_{\varphi }]}{R^{3}}}={\frac {\mu_{0}I}{4\pi R^{2}}}dl \,{\vec{e}}_{z}

ya que es el vector unitario a lo largo del eje del anillo. Para encontrar el campo creado por todo el anillo, y no por un solo elemento, debe integrar. Resultado: ${\vec {e}}_{r}\times {\vec {e}}_{\varphi}={\vec {e}}_{z}$

{\vec {B}}=\int d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}I{\vec {e}}_{z}}{4\pi R ^{2}}}\int dl={\frac {\mu _{0}I}{2R}}\,{\vec {e}}_{z}

ya que la integral es simplemente la circunferencia de un círculo . $2 \ pi R$

El campo de un alambre recto infinito

Busquemos ahora el campo magnético creado por un conductor rectilíneo infinito con corriente a una distancia del conductor. En esta ocasión elegimos el origen en la proyección del punto P, donde se busca la inducción, sobre el eje del hilo . Entonces el radio vector del elemento actual que crea el campo (un elemento de un segmento de línea recta) se escribirá como , while y el radio vector del punto P como . Según la fórmula de Biot-Savart, $yo$ $R_{0}$ $z$ ${\ vec {r))$ ${\vec {r}}=z{\vec {e}}_{z}$ $d{\vec {r}}=dz\,{\vec {e}}_{z}$ ${\vec {r}}_{0}=R_{0}{\vec {e}}_{r}$

d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[d{\vec {r}}\times ({\vec { r}}_{0}-{\vec {r}})]}{|{\vec {r}}_{0}-{\vec {r}}|^{3}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I[dz\,{\vec {e}}_{z}\times (R_{0}{\vec {e}}_{ r}-z{\vec {e}}_{z})]}{|R_{0}{\vec {e}}_{r}-z{\vec {e}}_{z}|^ {3}}}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {R_{0}}{(R_{0}^{2}+z^{2}) ^{3/2}}}\,dz\,{\vec {e}}_{\varphi}

ya que es un vector unitario a lo largo de un círculo cuyo eje de simetría es el alambre, y . Para encontrar el campo de todo el cable, debe integrar over from from : ${\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{r}={\vec {e}}_{\varphi }$ ${\vec {e}}_{z}\times {\vec {e}}_{z}=0$ $z$ $-\infty$ $+\infty$

{\vec {B}}=\int d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}IR_{0}{\vec {e}}_{\varphi }}{ 4\pi }}\int {\frac {dz}{(R_{0}^{2}+z^{2})^{3/2}}}={\frac {\mu _{0}I {2\piR_{0}}}\,{\vec {e}}_{\varphi}

ya que la integral es igual (al tomar, se hace un reemplazo ). El resultado coincide con el obtenido por otro método, más simple para una geometría dada, a partir de la ecuación de Maxwell para la intensidad del campo magnético en forma integral en ausencia de campos variables: . Si se elige un círculo de radio como contorno a lo largo del cual se realiza la integración , entonces, debido a la simetría, el campo en todos sus puntos será igual en magnitud y dirigido a lo largo de la tangente ( , ). Entonces la integración dará , después de lo cual tenemos . En consecuencia, para un vacío (y para un medio magnético homogéneo con permeabilidad , ) aparecerá en su lugar . ${\ estilo de visualización 2/R_{0}^{2}}$ $z=R_{0}\tan\beta$ ${\ vec {H}}$ $\oint {\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}=I$ $R_{0}$ $H$ ${\vec {H}}=H{\vec {e}}_{\varphi}$ $d{\vec {l}}=dl\,{\vec {e}}_{\varphi}$ ${\ estilo de visualización 2 \ pi R_ {0} H}$ ${\displaystyle H=I/2\pi R_{0))$ $B=\mu _{0}I/2\pi R_{0}$ $\mu$ $\mu_{0}$ $\mu_{0}\mu$

Para corrientes superficiales y masivas

Para el caso en que la fuente del campo magnético son corrientes distribuidas volumétricamente (A/m 2 ), caracterizadas por un vector de densidad de corriente dependiente de las coordenadas , la fórmula de la ley de Biot-Savart para la inducción magnética y la fórmula para el vector potencial toman la forma (en el sistema SI ) $\matemáticas {j}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {j} dV,\ \ mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}},\qquad \mathbf {A} ( \mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )dV}{|\mathbf {r } _{0}-\mathbf {r} |}}

donde es el elemento de volumen, y la integración se realiza sobre todo el espacio (o sobre todas sus regiones, donde (el vector corresponde al punto actual durante la integración (la posición del elemento ). $dV$ $\mathbf {j} =\mathbf {j} (\mathbf {r} )\neq 0$ $\mathbf{r}$ $dV$

Para el caso en que la fuente del campo magnético es la corriente (A/m) que fluye sobre una cierta superficie, $\mathbf{i}$

\mathbf {B} (\mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {[\ \mathbf {i} dS,\ \ mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} \ ]}{|\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} |^{3}}},\qquad \mathbf {A} ( \mathbf {r} _{0})={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac {\mathbf {i} (\mathbf {r} )dS}{|\mathbf {r } _{0}-\mathbf {r} |}}

donde es el elemento de área de la superficie portadora de corriente, sobre la cual se realiza la integración. $dS$

El lugar lógico de la ley en magnetostática

En la presentación moderna de la doctrina del electromagnetismo, la ley de Biot-Savart-Laplace generalmente se posiciona como una consecuencia de dos ecuaciones de Maxwell para un campo magnético bajo la condición de un campo eléctrico constante, y se deriva de ellas mediante transformaciones matemáticas. En esta lógica, las ecuaciones de Maxwell actúan como declaraciones postuladas más fundamentales (incluso porque la fórmula de Biot-Savart no se puede generalizar simplemente al caso general de campos que dependen del tiempo).

Sin embargo, históricamente, el surgimiento de la ley de Biot-Savart precedió a las ecuaciones de Maxwell y fue parte de la base experimental para formular estas últimas. Los precursores del establecimiento de esta ley fueron los experimentos de Ampère sobre el estudio de la interacción de fuerzas de los conductores con la corriente. Esta interacción de fuerzas se puede describir sin mencionar la frase "campo magnético", pero la interpretación de la interacción de las corrientes se desarrolló gradualmente como la interacción de una corriente con el campo creado por otra corriente, de acuerdo con las igualdades:

d^{2}{\vec {F}}_{12}={\frac {\mu_{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\cdot {\frac {d{\vec {l}}_{2}\veces [d{\vec {l}}_{1}\veces ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}} _{1})]}{|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|^{3}}}=I_{2}d{\vec {l }}_{2}\times d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})

donde y son los vectores de radio de los elementos de longitud de los conductores y , y es la fuerza del elemento (que crea un campo en el punto ) sobre el elemento . De hecho, al mismo tiempo, el “campo magnético” se convirtió en una entidad física independiente, y surgió la cuestión de definir el campo, y no la fuerza. Biot y Savard intervinieron en estos trabajos en 1820, y Laplace propuso una fórmula general para el campo . También demostró que con la ayuda de la ley de Biot-Savart es posible calcular el campo de una carga puntual en movimiento (asumiendo que el movimiento de una partícula cargada es una corriente). En la lógica de entonces, esta ley es primaria. ${\vec{r}}_{1}$ ${\vec{r}}_{2}$ $d{\vec {l}}_{1}$ $d{\vec {l}}_{2}$ $d^{2}{\vec{F}}_{12}$ $d{\vec {l}}_{1}$ $d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})$ ${\vec{r}}_{2}$ $d{\vec {l}}_{2}$

Desde un punto de vista formal, en el caso de la magnetostática, ambos enfoques pueden considerarse iguales, es decir, en este sentido, cuál de ellos declarar como posiciones iniciales y cuál como consecuencias depende de la elección de la axiomatización, que para la magnetostática puede ser uno u otro con igual derecho y prácticamente igual a conveniencia. Pero, como se mencionó anteriormente, ahora domina el enfoque basado en las ecuaciones de Maxwell.

La ley de Biot-Savart-Laplace se puede derivar de otra manera, usando la transformación de Lorentz de los componentes del tensor de campo electromagnético desde un marco de referencia móvil, donde solo hay un campo eléctrico de un determinado sistema de carga, en un marco de referencia fijo [1] . Resulta que el campo magnético en la ley de Biot-Savart se determina con una imprecisión relativa igual en orden de magnitud a , donde es la velocidad de la luz y es la velocidad de deriva de las partículas cargadas incluidas en la densidad de corriente . $v^{2}/c^{2}$ $C$ ${\mathbfv}$ $\vec{j}$

En un aspecto práctico, para los cálculos, la ley de Biot-Savart-Laplace juega el mismo papel en la magnetostática que la ley de Coulomb en la electrostática.

Derivación de la ley a partir de las ecuaciones de Maxwell

La ley de Biot-Savart-Laplace se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell para un campo estacionario. En este caso, las derivadas temporales son iguales a 0, por lo que las ecuaciones para el campo en el vacío toman la forma (en el sistema SI )

\operatorname {rot} \,\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} ,\qquad \operatorname {div} \,\mathbf {B} =0

\operatorname {rot} \,\mathbf {E} =0,\qquad \operatorname {div} \,\mathbf {E} =\varepsilon _{0}^{-1}\rho

donde es la densidad de corriente en el espacio, es la constante eléctrica , es la densidad de carga . En este caso, los campos eléctrico y magnético resultan ser independientes. ${\matemáticas j}$ $\varepsilon_{0}$ $\rho$

Usemos el vector potencial para el campo magnético ( ). La invariancia de calibre de las ecuaciones permite imponer una condición adicional al vector potencial: . Expandiendo el doble rotor en la ecuación por la fórmula de análisis vectorial , obtenemos para el potencial una ecuación del tipo de la ecuación de Poisson : ${\matemáticas A}$ ${\mathbf B}=\nombre del operador {rot}\,{\mathbf A}$ $\operatorname {div}\,{\mathbf A}=0$ $\operatorname {rot} \,\mathbf {B}$ ${\matemáticas A}$

\Delta \mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {j} .

Su solución particular viene dada por una integral similar al potencial newtoniano :

\mathbf {A} (\mathbf {r} _{0})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\ mathbf {r} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}}dV

Entonces el campo magnético está determinado por la integral

\mathbf {B} =\operatorname {rot} \,\mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[\nabla {\frac { 1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}},\mathbf {j} (\mathbf {r} )\right]dV={\frac {\mu _{0} {4\pi }}\int {\frac {[\mathbf {j} (\mathbf {r} ),\mathbf {r} _{0}-\mathbf {r} ]}{|\mathbf {r } -\mathbf {r} _{0}|^{3}}}dV

similar en forma a la ley de Biot-Savart-Laplace. Esta correspondencia se puede completar si usamos funciones generalizadas y anotamos la densidad de corriente espacial correspondiente a la bobina con corriente en el espacio vacío. Pasando de la integración sobre todo el espacio a la integral iterada por la espira y por los planos ortogonales a ella y teniendo en cuenta que , se obtiene la ley de Biot-Savart-Laplace para el campo de la espira con corriente. ${\mathbf j}dV=I{\mathbf {dl))$

Notas

↑ Fedosin, Sergey G. (2021). “Teorema del campo magnético de cuerpos cargados en rotación”. Progreso en la investigación electromagnética M . 103 : 115-127. arXiv : 2107.07418 . Código Bib : 2021arXiv210707418F . DOI : 10.2528/PIERM21041203 .// Teorema sobre el campo magnético de cuerpos cargados giratorios Archivado el 14 de agosto de 2021 en Wayback Machine .

Literatura

Sivukhin DV Curso general de física. - Ed. 4º, estereotipado. — M .: Fizmatlit ; Editorial MIPT, 2004. - Vol. III. Electricidad. — 656 pág. - ISBN 5-9221-0227-3 ; ISBN 5-89155-086-5 ..
Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoría de campos. - 7ª edición, revisada. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Física Teórica ", Tomo II). — ISBN 5-02-014420-7 .