Invariancia de calibre

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La invariancia de calibre es la invariancia de las predicciones de la teoría del campo físico con respecto a las transformaciones de calibre (locales), transformaciones de campo dependientes de coordenadas que describen la transición entre bases en el espacio de simetrías internas de este campo.

La invariancia de calibre se estableció por primera vez en la electrodinámica clásica . La invariancia de calibre global (independiente de las coordenadas) del campo, en virtud del teorema de Noether , conduce a la ley de conservación de la carga de este campo (en particular, para la electrodinámica, a la ley de conservación de la carga eléctrica ). La invariancia de calibre local (dependiente de las coordenadas) de los campos cargados para la conservación de las ecuaciones dinámicas de la teoría requiere la introducción de nuevos campos de calibre.

El requisito de invariancia de norma es una de las disposiciones clave de la física de partículas elementales . Es a través de la invariancia de calibre que es posible describir las interacciones electromagnéticas , débiles y fuertes de una manera autoconsistente en el Modelo Estándar . En particular, el campo electromagnético "aparece" en alguna teoría cuántica de campos bajo el requisito adicional de invariancia de calibre local del Lagrangiano de la teoría. Según este principio, es posible “deducir” el Lagrangiano de la electrodinámica cuántica (QED) del Lagrangiano del campo de Dirac (campo electrónico o campo electrón-positrón).

simetría en física
transformación	Invariancia correspondiente	La ley de conservación correspondiente
↕ Hora de emisión	Uniformidad de tiempo	…energía
⊠ C , P , CP y T - simetrías	Isotropía del tiempo	... paridad
↔ Espacio de difusión	Homogeneidad del espacio	…impulso
↺ Rotación del espacio	Isotropía del espacio	… impulso
⇆ Grupo Lorentz (impulsos)	Relatividad Covarianza de Lorentz	…movimientos del centro de masa
~ Transformación de calibre	Invariancia de calibre	... cobrar

En electrodinámica clásica

Sea una función escalar arbitraria de coordenadas y tiempo. Entonces si cambiamos los potenciales de la siguiente manera: $f=f(x,y,z,t)$

\varphi '=\varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\f parcial}{\t parcial)),\qquad \mathbf {A} '=\mathbf {A} + \ nabla f,

donde φ y A son potenciales escalares y vectoriales,

entonces el comportamiento real observado del sistema no cambiará.

Esto es obvio por el hecho de que los valores de los campos eléctrico y magnético seguirán siendo los mismos bajo tal transformación. $\mathbf {E}$ $\matemáticas {B}$

Independencia de fase de un número complejo

Simplificado, la idea básica de la invariancia de calibre se puede explicar de la siguiente manera. La principal característica que describe un sistema físico en la mecánica cuántica , la función de onda , es una cantidad compleja . Sin embargo, todas las cantidades observables que se construyen como combinaciones bilineales de funciones de onda resultan ser reales (como debería ser, después de todo, en nuestro mundo tangible, todas las cantidades son reales). Como resultado, resulta que nada cambiará en las predicciones de la teoría si las funciones de onda se multiplican por un número complejo igual en valor absoluto a uno - . (La función adjunta se multiplica, respectivamente, por el número complejo conjugado). Esto es bastante natural: el valor absoluto de la fase de un número complejo es algo arbitrario y no debería afectar las predicciones de la teoría. $e^{{i\alfa}}$

Por lo tanto, la mecánica cuántica es invariante bajo rotaciones de fase globales , también llamadas transformaciones de calibre global .

La idea de invariancia de calibre

¿ La mecánica cuántica es invariante con respecto a las rotaciones de fase locales ( transformaciones de calibre locales )? En otras palabras, ¿cambiará algo si rotamos la función de onda en un punto a una fase y en otro punto a otra? Sí, cambiará. En particular, es obvio que el lado derecho de la ecuación de Schrödinger cambiará, y de forma casi arbitraria, y por tanto la evolución del sistema en el tiempo. Es decir, la mecánica cuántica de una partícula libre resulta no invariante con respecto a las rotaciones de fase locales. ${\displaystyle e^{i\alpha (\mathbf {x} )))$

¿Es posible restaurar la invariancia? Sí tu puedes. Sin embargo, para ello es necesario introducir un nuevo campo físico , que “sienta” el espacio interior en el que producimos rotaciones de fase. Como resultado, durante las rotaciones de fase locales, tanto las funciones de onda como el nuevo campo se transforman, además, de tal manera que los cambios en las ecuaciones debido a estas rotaciones de fase se compensan, se “calibran” entre sí. Es decir, la mecánica cuántica con un nuevo campo adicional se ha vuelto invariante de calibre.

Si ahora estudiamos las propiedades del nuevo campo, se parecerá al campo electromagnético que observamos en nuestro mundo. En particular, la interacción de este campo con la materia coincide con la interacción del campo electromagnético. Por lo tanto, es bastante natural identificar estos dos campos al construir una teoría.

Por lo tanto, el requisito de la invariancia de calibre resultó ser una forma inesperadamente conveniente de introducir también el campo electromagnético en la teoría. No tenía que ser considerado por separado, apareció en la teoría casi "por sí mismo".

Campos de indicadores como base del Modelo Estándar

La primera teoría unificada de campos gravitacionales y electromagnéticos basada en las ideas de la invariancia de calibre fue propuesta por G. Weil . La teoría moderna de los campos de calibre desarrolla y generaliza sus ideas [1] basándose en transformaciones de calibre de una forma más compleja, que son responsables de la invariancia en algún espacio más complejo de grados de libertad internos.

Por ejemplo, la invariancia bajo las rotaciones de quarks en el espacio de color lleva al hecho de que las interacciones fuertes también pueden describirse como campos de calibre. Las interacciones débiles no pueden describirse por separado como interacciones de calibre, pero existe un método inesperadamente elegante para describir las interacciones electromagnética y débil simultáneamente como dos manifestaciones diferentes de un determinado campo electrodébil de calibre.

Por lo tanto, todas las interacciones fundamentales se derivan sobre la base de la invariancia de calibre. Desde el punto de vista de la construcción de una teoría física , este es un esquema extremadamente económico y exitoso.

La interacción gravitacional se destaca. También resulta ser un campo de calibre, y la teoría general de la relatividad es precisamente la teoría de calibre de la interacción gravitatoria. Sin embargo, está formulado, en primer lugar, no a nivel cuántico, y todavía no está claro cómo cuantificarlo exactamente, y en segundo lugar, el espacio en el que se realizan las rotaciones es nuestro espacio-tiempo de cuatro dimensiones , y no el interior. simetría del espacio de interacción.

Historia

La primera teoría de campo con simetría de norma fue la formulación de la electrodinámica clásica de Maxwell en 1864-1865, que establecía que cualquier campo vectorial cuyo rotor se anula no cambia cuando se suma el gradiente de la función, es decir, para tal suma al vector potencial no cambia el campo magnético [2] . La importancia de esta simetría pasó desapercibida en las primeras formulaciones. De manera similar, en silencio , Hilbert derivó las ecuaciones de campo de Einstein al postular la invariancia de la acción bajo una transformación general de coordenadas. Más tarde, Hermann Weyl , en un intento por unificar la relatividad general y el electromagnetismo , propuso que la invariancia bajo el cambio de escala (o "calibre") es también una simetría local de la relatividad general [3] . Después del desarrollo de la mecánica cuántica , Weil, Vladimir Fock y Fritz London modificaron el calibre reemplazando el factor de escala con una cantidad compleja y convirtieron la transformación de escala en un cambio de fase : esta es la simetría de calibre U(1). Esto explicaba la influencia del campo electromagnético sobre la función de onda de una partícula fundamental cargada . Esta fue la primera teoría de calibre ampliamente aceptada, popularizada por Pauli en 1941 [4] .

En 1954, en un intento por resolver una gran confusión en la física de partículas , Zhenning Yang y Robert Mills presentaron la teoría de calibre no abeliana como un modelo para comprender la fuerza fuerte que mantiene unidos a los nucleones en los núcleos atómicos [5] . (Ronald Shaw, trabajando con Abdus Salam , introdujo el concepto de forma independiente en su disertación doctoral). Generalizando la invariancia de calibre del electromagnetismo, intentaron construir una teoría basada en la acción del grupo de simetría (no abeliano) SU(2) en el doblete isospín de protones y neutrones . Esto es similar a la acción del grupo U(1) sobre los campos de espinor en la electrodinámica cuántica . En física de partículas, se ha puesto énfasis en el uso de teorías de medida cuantificadas.

Posteriormente, esta idea encontró aplicación en la teoría cuántica de campos de la interacción débil , y su combinación con el electromagnetismo en la teoría electrodébil . Las teorías de calibre se volvieron aún más atractivas cuando resultó que las teorías de calibre no abelianas reproducen una característica llamada libertad asintótica , que se consideraba una característica importante de las interacciones fuertes. Esto impulsó la búsqueda de una teoría de calibre de la interacción fuerte. Esta teoría, ahora conocida como cromodinámica cuántica , es una teoría de calibre con la acción del grupo SU(3) en el triplete de color del quark . El modelo estándar combina la descripción del electromagnetismo, las interacciones débiles y las interacciones fuertes en el lenguaje de la teoría de calibre.

En la década de 1970, Michael Atiyah comenzó a estudiar las matemáticas de las soluciones de las ecuaciones clásicas de Yang-Mills . En 1983, el alumno de Atiyah, Simon Donaldson , basándose en este trabajo, demostró que la clasificación diferenciable de 4 variedades suaves es muy diferente de su clasificación hasta el homeomorfismo [6] . Michael Friedman usó el trabajo de Donaldson para mostrar estructuras exóticas en R 4 , es decir, estructuras diferenciables exóticas en el espacio cuatridimensional euclidiano . Esto condujo a un creciente interés en la teoría de calibre como tal, independientemente de sus avances en la física fundamental. En 1994, Edward Witten y Nathan Seiberg inventaron métodos de teoría de calibre basados en la supersimetría , que permitieron calcular algunos invariantes topológicos [7] [7] ( invariantes de Seiberg-Witten ). Esta contribución de la teoría de calibre a las matemáticas ha llevado a un renovado interés en el campo.

La importancia de las teorías de calibre en la física queda ilustrada por el tremendo éxito del formalismo matemático al proporcionar un marco unificado para describir las teorías cuánticas de campos : electromagnetismo , interacción débil e interacción fuerte . Esta teoría, conocida como el modelo estándar , describe con precisión las predicciones experimentales sobre tres de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza y es una teoría de calibre con un grupo de calibre de SU(3) × SU(2) × U(1) . Las teorías modernas como la teoría de cuerdas , así como la relatividad general , son teorías de calibre de una forma u otra.

Consulte Pickering [8] para obtener más información sobre la historia de las teorías de campo cuántico y de calibre.

Simetría de calibre global U(1)

Según el teorema de Noether, la invariancia de la acción con respecto a alguna operación continua (grupo) de simetría conduce a la correspondiente ley de conservación [9] . La afirmación inversa de que cada cantidad conservada tiene su propia simetría también es cierta, lo que se puede observar en el ejemplo de la conservación de la carga eléctrica [10] . Sea el lagrangiano de un sistema de dos campos escalares libres reales de la forma [11] $\phi _{1}$ $\phi _{2}$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\parcial_{\mu}\phi_{1})(\parcial ^{\mu}\phi_{1} )-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}(\parcial_{\mu}\phi_{ 2})(\parcial ^{\mu}\phi _{2})-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi _{2}^{2}\,,

( 1.1 )

entonces uno puede considerar formalmente estos dos campos en un espacio isotópico bidimensional con vectores unitarios en la forma ${\ estilo de visualización ({\ vec {i)), {\ vec {j)))}$

{\vec {\phi }}=\phi _{1}{\vec {i}}+\phi _{2}{\vec {j}}\,.

( 1.2 )

Esta representación permite revelar el significado geométrico de la transformación de gauge. En este caso, el Lagrangiano (1.1) toma la forma simple

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\parcial _ {\mu }{\vec {\phi }})(\parcial ^{\mu }{\vec { \phi )))-{\frac {1}{2}}m^{2}{\vec {\phi }}\cdot {\vec {\phi }}\,,

( 1.3 )

que no cambia bajo transformaciones de calibre

{\begin{alineado}\phi _{1}^{'}&=\phi _{1}\cos \alpha +\phi _{2}\sin \alpha \,,\\\phi _ {2}^{'}&=-\phi _{1}\sin \alpha +\phi _{2}\cos \alpha \,.\end{alineado}}

( 1.4 )

Tal rotación a través de un ángulo en un espacio isotópico es un elemento del grupo ortogonal de rotaciones bidimensionales O(2) o del grupo U(1) isomorfo a él, no cambia el Lagrangiano del sistema (1.3) [11] . Si consideramos estos campos como un par de campos complejos, entonces el Lagrangiano (1.1) se puede escribir como [12] $\alfa$ $\phi =(\phi _{1}+i\phi _{2})/{\sqrt {2)),\,\phi ^{*}=(\phi _{1}-i\ phi _{2})/{\raíz cuadrada {2}}\,,$

{\mathcal {L}}=(\parcial _{\mu }\phi )(\parcial ^{\mu }\phi ^{*})-m^{2}\phi ^{*}\ fi\,,

( 1.5 )

y la transformación de calibre para campos complejos se convierte en

\phi _{1}^{'}+i\phi _{2}^{'}=e^{-i\alpha}(\phi _{1}+i\phi _{2}) ,\,\phi _{1}^{'}-i\phi _{2}^{'}=e^{i\alpha }(\phi _{1}-i\phi _{2})\ ,.

( 1.6 )

Esta simetría tiene un carácter global ya que no afecta a las coordenadas espacio-temporales [12] [10] .

Simetría de calibre local

Surge la duda de si es posible sustituir la simetría global por una local, es decir, en función de un punto del espacio-tiempo , pero manteniendo las propiedades del Lagrangiano. Resulta que el Lagrangiano cambia de forma debido a la presencia de derivadas adicionales de la función [11] . Sin embargo, es posible cambiar el Lagrangiano de tal manera que se conserve bajo la acción de las transformaciones de norma local. Para ello, se introduce un nuevo campo vectorial que interactúa con la corriente de Noether. La adición al Lagrangiano (1.5) tiene la forma $\phi (x)\rightarrow e^{-i\alpha (x)}\phi (x),\,\phi ^{*}(x)\rightarrow e^{i\alpha (x)} \fi ^{*}(x)$ $\alfa(x)$ $A_{{\mu ))$

{\mathcal {L_{1))}=-ie(\phi ^{*}\parcial ^{\mu }\phi -\phi \parcial ^{\mu }\phi ^{*})A_ {\mu}\,,

( 1.7 )

donde es la constante de acoplamiento adimensional [13] . Esto lleva a la aparición de una contribución a la variación del Lagrangiano del producto de todos los campos, y para deshacerse de ella se introduce un término más $mi$

{\mathcal {L_{2}}}=e^{2}A_{\mu }A^{\mu }\phi ^{*}\phi \,,

( 1.8 )

que restaura completamente la invariancia de calibre del nuevo Lagrangiano [13] . Dado que el campo vectorial introducido también debe hacer una contribución gratuita al Lagrangiano, se introduce un rotor de campo de 4 dimensiones según la fórmula estándar : este es el tensor de intensidad de campo electromagnético. Sumando las contribuciones (1.5) , (1.7) y (1.8) al Lagrangiano del campo vectorial libre , el resultado es el Lagrangiano de la electrodinámica del campo escalar complejo [14] : ${\mathcal {L}}+{\mathcal {L_{1}}}+{\mathcal {L_{2}}}\,$ $A_{{\mu ))$ $F_{{\mu \nu }}=\parcial _ {{\mu }}A_{{\nu }}-\parcial _{{\nu }}A_{{\mu }}$ $\fi$

{\mathcal {L}}_{tot}=(\parcial _{\mu }\phi )(\parcial ^{\mu }\phi ^{*})-m^{2}\phi ^ {*}\phi -ie(\phi ^{*}\parcial ^{\mu }\phi -\phi \parcial ^{\mu }\phi ^{*})A_{\mu }+e^{2 }A_{\mu }A^{\mu }\phi ^{*}\phi -{\frac {1}{16\pi }}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\, ,

( 1.9 )

donde el campo corresponde a una carga eléctrica y el campo complejo corresponde a una carga con el signo opuesto.Este enfoque para la introducción de la interacción electromagnética fue utilizado por Weil en los años 20 del siglo XX [15] . $\fi$ $mi,$ ${\ estilo de visualización \ phi ^ {*}}$ ${\ estilo de visualización -e.}$

La simetría de calibre resultó estar relacionada con la forma de interacción [15] . La simetría también determina inequívocamente la dinámica de la interacción de partículas. El concepto de simetría de calibre local se puede aplicar a los quarks y ayudar a construir la teoría de las interacciones fuertes [10] .

Véase también

Notas

↑ Uchiyama, 1986 , pág. 174.
↑ Vizgin, 1985 , pág. 261.
↑ Vizgin, 1985 , pág. 265.
↑ Pauli, Wolfgang (1941). "Teorías relativistas de campos de partículas elementales". Rvdo. Modificación. física _ 13 (3): 203-32. Código Bib : 1941RvMP...13..203P . DOI : 10.1103/revmodphys.13.203 .
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↑ Donaldson, Simon K. (1983). "Conexiones auto-dual y la topología de 4-variedades suaves". Toro. amer Matemáticas. soc. 8 (1): 81-83. DOI : 10.1090/S0273-0979-1983-15090-5 .
↑ 1 2 Seiberg, N. & Witten, E. (1994a), Electric-magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory , Nuclear Physics B Vol . 426 (1): 19–52 . DOI 10.1016/0550-3213(94)90124-4 ; Fe de erratas , Física nuclear B Vol. 430 (2): 485–486, 1994 , DOI 10.1016/0550-3213(94)00449-8
↑ Pickering, A. Construcción de quarks. - Prensa de la Universidad de Chicago , 1984. - ISBN 0-226-66799-5 .
↑ Sadovsky, 2003 , pág. 24
↑ 1 2 3 SS Gershtein. ¿Qué es una carga de color o qué fuerzas unen a los quarks ? // Revista educativa de Sorovsky. - 2000. - Nº 6 . - S. 78-84 .
↑ 1 2 3 Sadovsky, 2003 , p. 27
↑ 1 2 Sadovsky, 2003 , pág. 26
↑ 1 2 Sadovsky, 2003 , pág. 29
↑ Sadovsky, 2003 , pág. treinta.
↑ 1 2 Sadovsky, 2003 , pág. 31

Literatura

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