Cierre (álgebra)
En álgebra general , la clausura de un conjunto con respecto a un conjunto dado de operaciones algebraicas es la extensión más pequeña posible (es decir, que no contiene otras similares) de un conjunto dado en el que cualquier aplicación de estas operaciones a elementos de tal extensión no no ir más allá de sus límites. La extensión mínima existirá siempre como la intersección de todas las extensiones descritas.
Formalmente, sea un subconjunto del portador de algún álgebra . Entonces la clausura del conjunto con respecto a la signatura es la subálgebra mínima que contiene ( ).
Ejemplos:
- El cierre del conjunto con respecto a la operación de adición será el conjunto de todos los números naturales .
- El cierre del conjunto con respecto a las operaciones de suma y resta será el conjunto de todos los números enteros ,
- El cierre de un conjunto bajo operaciones de suma, multiplicación o ambas juntas coincide consigo mismo.
Un conjunto que coincide con su cierre se llama algebraicamente cerrado (con respecto a un conjunto dado de operaciones).
Ejemplos:
- El subgrupo se cierra bajo la operación de grupo.
- El subconjunto de los números naturales en el conjunto de los enteros se cierra bajo la operación de suma , pero no se cierra bajo la operación de resta .