El juego de Penny es una paradoja no transitiva encontrada por Walter Penny .
La descripción de la paradoja se publicó por primera vez en octubre de 1969 en el Journal of Recreational Mathematics . La esencia de esta paradoja se reduce a lo siguiente: dejemos que A y B jueguen tal juego: primero A elige una secuencia binaria arbitraria (por ejemplo, de ceros y unos) de longitud 3 y se la muestra al jugador B. Luego B hace el mismo. A continuación, los jugadores construyen una secuencia binaria aleatoria en la que la ocurrencia de 0 y 1 es igualmente probable (por ejemplo, lanzan una moneda, contando las caras como 1 y las cruces como 0). El jugador cuya secuencia ocurra primero en esta secuencia aleatoria gana. Por ejemplo, deje que el jugador A elija el triple 001 y el jugador B elija el triple 100. Deje que la secuencia aleatoria 10100 se obtenga lanzando una moneda 5 veces. Los últimos 3 dígitos, 100, coinciden con el triple elegido por el jugador B, y el triple A no se reunió, por lo que después del quinto lanzamiento de moneda, el jugador B gana. La paradoja radica en que para cualquier terna del jugador A existe una terna que le gana con una probabilidad mayor a 1/2. Es decir, no hay un triple “más fuerte”, para cualquier triple hay un triple “más fuerte” que lo gana con una probabilidad de más de la mitad. Las posibilidades de ganar del jugador B son 2/3 en el peor de los casos. Si pasamos de tripletes a cuatro resultados, entonces las posibilidades de que el jugador B gane serán aún mayores.
Martin Gardner escribe sobre esto:
Esta situación es poco conocida, y la mayoría de los matemáticos simplemente no pueden creerlo cuando se enteran del descubrimiento de Penny. Esta es sin duda la estafa más bella (si es que una estafa puede ser bella), pensada para un simplón.
— Gardner Martín. "Viaje en el tiempo" [1]La siguiente tabla muestra las probabilidades de ganar del jugador B con tres resultados.
| PEROB | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 | 110 | 111 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 000 | 1/2 | 2/5 | 2/5 | 1/8 | 5/12 | 3/10 | 1/2 | |
| 001 | 1/2 | 2/3 | 2/3 | 1/4 | 5/8 | 1/2 | 7/10 | |
| 010 | 3/5 | 1/3 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | 3/8 | 7/12 | |
| 011 | 3/5 | 1/3 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | 3/4 | 7/8 | |
| 100 | 7/8 | 3/4 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | 1/3 | 3/5 | |
| 101 | 7/12 | 3/8 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | 1/3 | 3/5 | |
| 110 | 7/10 | 1/2 | 5/8 | 1/4 | 2/3 | 2/3 | 1/2 | |
| 111 | 1/2 | 3/10 | 5/12 | 1/8 | 2/5 | 2/5 | 1/2 |
Para encontrar el triple ganador, en la fila superior de la tabla, busque el triple del jugador A, y en su columna busque el número máximo. En la línea con este número en la columna de la izquierda estará el triple del jugador B, que gana contra el triple dado del jugador A con la máxima probabilidad. Por ejemplo, deje que el jugador A elija el triple 000. En la primera columna de la tabla, estamos buscando el número más grande, este es 7/8. En la columna izquierda de la línea con el número 7/8 leemos el triple del jugador B 100, que gana contra el triple 000 con una probabilidad de 7/8. De hecho, si la secuencia no comienza en 000 cuando se lanza la moneda, entonces cuando este trío aparece por primera vez en una secuencia aleatoria, estará precedido por un 1, lo que significa que los tres de 100 se encontraron antes, y el jugador B ganó. Triple 000 gana contra triple 100 solo si 000 aparece al comienzo de la secuencia aleatoria, y la probabilidad de que esto ocurra es 1/8.
La estrategia óptima para el primer jugador (para cualquier longitud de secuencia de al menos 4) fue encontrada por el matemático y criptógrafo húngaro Janos Chirik [2] .