Derivada invariante con respecto al tiempo

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La derivada temporal invariante es la derivada temporal de un marco inercial . En el propio marco inercial, la derivada temporal invariante es simplemente la derivada temporal habitual: . En un sistema no inercial , la derivada temporal invariante consiste en la suma de la derivada temporal habitual y términos adicionales relacionados con la velocidad del sistema no inercial con respecto al inercial. El campo de velocidad puede ser heterogéneo y generalmente depende del tiempo . Entonces, por ejemplo, en un sistema no inercial asociado con una rueda que gira de manera no uniforme , el campo de velocidad no es uniforme en el espacio y el tiempo. Dado que el campo de velocidades es la velocidad relativa de movimiento de los sistemas de coordenadas, que no son objetos materiales, esta velocidad puede exceder la velocidad de la luz en magnitud e incluso ser infinita. En este caso, por supuesto, no hay contradicción con la teoría especial de la relatividad (SRT). Por ejemplo, el campo de velocidad de un sistema no inercial asociado con una rueda giratoria excede la velocidad de la luz a una distancia suficientemente grande del centro de rotación y tiende al infinito a mayor distancia del centro. ${\frac {\parcial }{\parcial t))$ ${\frac {\parcial }{\parcial t))$ $yo$ $V^{i}(x)$ $V^{i}(x,t)$ $V^{i}(x,t)$

Denotamos por las coordenadas en el marco inercial y por las coordenadas en el marco no inercial. Entonces la velocidad de movimiento del sistema no inercial en relación con el inercial es ${\ barra {x}}$ ${\ estilo de visualización x ({\ bar {x)), t)}$

$V^{i}(x,t)={\frac {\parcial x^{i}({\bar {x)),t)}{\parcial t))$

La derivada temporal invariante de un escalar en un marco no inercial es: ${\ estilo de visualización F (x, t)}$

$D_{t}F(x,t)={\frac {\parcial F}{\parcial t))+{\frac {\parcial F}{\parcial x^{i))}{\frac {\parcial x^{i}}{\parcial t}}={\frac {\parcial F}{\parcial t}}+V^{i}(x,t){\frac {\parcial F}{ \parcial x^{i}}}$ .

La derivada temporal invariable de los tensores tiene términos adicionales asociados con la transformación de sus componentes al pasar de un sistema de coordenadas a otro . Entonces, por ejemplo, para vectores y covectores tenemos: ${\bar {x}}\a x({\bar {x}},t)$

$A^{i}={\frac {\parcial x^{i}}{\parcial {\bar {x}}^{j}}}{\bar {A}}^{j}$ ;

$A_{i}={\frac {\parcial {\bar {x}}^{j}}{\parcial x^{i}}}{\bar {A}}_{j}$ .

Como consecuencia,

${\displaystyle D_{t}A^{i}={\frac {\parcial A^{i}}{\parcial t}}+V^{j}{\frac {\parcial A^{i}}{ \parcial x^{j))}-A^{j}{\frac {\parcial V^{i)){\parcial x^{j))))$ ;

$D_{t}A_{i}={\frac {\parcial A_{i}}{\parcial t}}+V^{j}{\frac {\parcial A_{i}}{\parcial x ^{j}}}+A_{j}{\frac {\V parcial^{j}}{\x parcial^{i}}}$ .

Las derivadas temporales invariantes de los tensores de mayor rango se calculan de manera similar.

Una propiedad importante de la derivada temporal invariable es que todas las derivadas con respecto a las coordenadas espaciales en el lado derecho de las expresiones anteriores pueden reemplazarse por derivadas covariantes consistentes con la métrica espacial , es decir ${\displaystyle {\frac {\parcial }{\parcial x^{i))))$ ${\displaystyle dl^{2}=\gamma_{ij}dx^{i}dx^{j))$

$D_{t}A^{i}=\parcial _{t}A^{i}+V^{j}A_{;j}^{i}-A^{j}V_{;j} ^{yo}$ ,

${\displaystyle D_{t}A_{i}=\parcial _{t}A_{i}+V^{j}A_{i;j}+A_{j}V_{;i}^{j))$ ,

aquí los términos con las conexiones de Christoffel se anulan entre sí.

Las "adiciones" consideradas anteriormente a las derivadas temporales habituales son Lie: variaciones (o, en otras palabras, derivadas de Lie ) de campos tensoriales a lo largo de un campo vectorial , que fueron estudiadas por el destacado matemático noruego Sophus Lie (1842-1899). $yo$

Las bien conocidas aceleraciones centrífuga y de Coriolis que aparecen en un sistema rotatorio no inercial son términos adicionales en la derivada temporal invariante del vector velocidad de un punto material en movimiento.

Literatura

D. E. Burlankov, Dinámica del espacio. Monografía 2005 179 págs.