Integral de jacobi

En mecánica celeste , la integral de Jacobi es la única cantidad conservada conocida en el problema circular restringido de tres cuerpos. [1] A diferencia del problema de los dos cuerpos , la energía y el momento del sistema no se almacenan por separado y no se puede obtener la solución analítica general. La integral de Jacobi se utiliza para obtener una solución numérica en casos individuales.

Definición

Sistema sinódico

Un sistema de coordenadas conveniente es el llamado sistema sinódico con el origen en el baricentro , con la línea que conecta las masas μ 1 y μ 2 como el eje x , y la distancia entre ellas como la unidad de distancia. Como el sistema gira junto con los cuerpos, estos permanecen inmóviles y ubicados en puntos con coordenadas (− μ 2 , 0) y (+ μ 1 , 0) 1 .

En el sistema de coordenadas ( x , y ), la constante de Jacobi es

C_{J}=n^{2}(x^{2}+y^{2})+2\left({\frac {\mu_{1}}{r_{1}}}+ {\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)-\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{ \punto {z}}^{2}\derecho),

dónde:

$n={\frac{2\pi}{T))$ es el movimiento medio ( período orbital T),
$\mu _{1}=Gm_{1}\,\!,\mu _{2}=Gm_{2}\,\!$ , para dos masas m 1 , m 2 y constante gravitacional G ,
$r_{1}\,\!,r_{2}\,\!$ son las distancias desde la partícula de prueba a dos cuerpos masivos.

Tenga en cuenta que la integral de Jacobi es igual a menos el doble de la energía total por unidad de masa en un marco de referencia giratorio: el primer término se refiere a la energía potencial centrífuga, el segundo se refiere al potencial gravitacional y el tercero es la energía cinética. En este marco de referencia, las fuerzas que actúan sobre una partícula incluyen dos fuerzas gravitatorias de los cuerpos, la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis . Dado que las tres primeras fuerzas se pueden expresar en términos de potenciales y la última es perpendicular a la trayectoria, todas son conservativas, por lo que la energía medida en un sistema de energía dado (de ahí la integral de Jacobi) se conserva.

Sistema sideral

En un marco de referencia inercial (sideral) ( ξ , η , ζ ), las masas giran alrededor del baricentro. En este sistema de coordenadas, la constante de Jacobi tiene la forma

C_{J}=2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\ derecha)+2n\left(\xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi }}\right)-\left({\dot {\xi }}^{2}+{\ punto {\eta }}^{2}+{\punto {\zeta }}^{2}\right).

Conclusión

En el sistema sinódico, las aceleraciones se pueden representar como derivadas de una función escalar

U(x,y,z)={\frac {n^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2})+{\frac {\mu _{1} {r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}.

Considere las ecuaciones de Lagrange para el movimiento de un cuerpo:

{\ddot {x}}-2n{\dot {y}}={\frac {\delta U}{\delta x)),

{\ddot {y}}+2n{\dot {x}}={\frac {\delta U}{\delta y)),

{\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta z)),

Después de multiplicar las ecuaciones por y respectivamente y sumar las tres expresiones, obtenemos la igualdad ${\punto {x}},{\punto {y}}$ ${\ estilo de visualización {\ punto {z))}$

{\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}={\ fracción {\delta U}{\delta x}}{\dot {x}}+{\frac {\delta U}{\delta y}}{\dot {y}}+{\frac {\delta U} {\delta z}}{\dot {z}}={\frac {dU}{dt}}.

Después de la integración, obtenemos la expresión

{\punto {x}}^{2}+{\punto {y}}^{2}+{\punto {z}}^{2}=2U-C_{J},

donde C J es la constante de integración.

El lado izquierdo de la ecuación es el cuadrado de la velocidad v de la partícula de prueba en el marco de referencia sinódico.

1 Este sistema de coordenadas es no inercial, lo que explica la aparición de términos asociados a la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis.

Notas

↑ Bibliothèque nationale de France Archivado el 2 de febrero de 2017 en Wayback Machine . Jacobi, Carl GJ Sur le movement d'un point et sur un cas particulier du problème des trois corps (francés) // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris :revista. - 1836. - Vol. 3 . - Pág. 59-61 .

Literatura

Carl D. Murray y Stanley F. Dermot Solar System Dynamics [Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, 1999], páginas 68–71. ( ISBN 0-521-57597-4 )