Fórmulas de interpolación

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Fórmulas de interpolación - en matemáticas, fórmulas que dan una expresión aproximada de una función mediante interpolación , es decir, a través de un polinomio de interpolación de grado , cuyos valores en puntos dados coinciden con los valores de la función en estos puntos. El polinomio se define de forma única, pero dependiendo de la tarea, es conveniente escribirlo en diferentes fórmulas. $f(x)$ $p_n(x)$ $norte$ ${\displaystyle x_{0},\;x_{1},\ldots,x_{n))$ ${\displaystyle y_{0},\;y_{1},\ldots,y_{n))$ $F$ $p_n(x)$

Fórmula de interpolación de Lagrange

La función se puede interpolar en un segmento mediante un polinomio de interpolación escrito en forma de Lagrange [1] : $F$ $[x_{0},x_{n}]$ $p_n(x)$

P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}y_{k}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots ( x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\ldots (x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{ 1})\puntos (x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\puntos (x_{k}-x_{n})}},

mientras que el error de interpolar la función por un polinomio [2] : $\f(x)$ $\P_n(x)$

|f(x)-P_n(x)|\le \frac {\|f^{(n+1)}(x)\|} {(n+1)!}\cdot \|\Pi_n(x) \|, \qquad \Pi_n(x)=(x-x_0)(x-x_1) \ldots(x-x_n).

En el espacio de funciones continuas reales, las normas correspondientes toman la forma:

\|f^{(n+1)}(x)\|= \max_{x \in [x_0,x_n]}|f^{(n+1)}(x)|, \qquad \|\Pi_n (x)\|=\max_{x \in [x_0,x_n]}|\Pi_n(x)|.

Fórmula de interpolación de Newton

Si los puntos están ubicados a distancias iguales , el polinomio se puede escribir como [3] : ${\displaystyle x_{0},\;x_{1},\ldots,x_{n))$ ${\ estilo de visualización (x_ {k} = x_ {0} + kh)}$ $p_n(x)$

P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\Delta y_{0}+{\frac {t(t-1)}{2))\Delta ^{2} y_{0}+\ldots +{\frac {t(t-1)\cdots (t-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0}.

Aquí , y es la diferencia de orden finito . Esta es la llamada fórmula de Newton para la interpolación directa. Su nombre indica que contiene los valores dados correspondientes a los nodos de interpolación ubicados justo a la derecha de . Esta fórmula es conveniente cuando se interpolan funciones para valores cercanos a . Al interpolar funciones para valores cercanos a , es recomendable transformar la fórmula de Newton cambiando el origen (ver más abajo las fórmulas de Stirling y Bessel). $x_{0}+th=x$ $\Delta^{k}$ $k$ $F$ $x_{0}$ $X$ $x_{0}$ $X$ $x_k$

Una forma abreviada de la fórmula de interpolación de Newton para el caso de nodos equidistantes [4] :

P_{n}(x)=\sum_{m=0}^{n}\left(C_{x}^{m}\sum_{k=0}^{m}(-1) ^{k}\,C_{m}^{k}\,f(k)\derecha)

donde son los coeficientes binomiales generalizados al dominio de los números reales . $C_{x}^{m}$

La fórmula de Newton también se puede escribir para nodos desigualmente espaciados, usando las diferencias divididas para esto . A diferencia de la fórmula de Lagrange, donde cada término depende de todos los nodos de interpolación, cualquier -ésimo término de la fórmula de Newton depende de los primeros nodos (desde el origen), y agregar nuevos nodos solo agrega nuevos términos a la fórmula, lo que le da una ventaja en términos de rentabilidad de los cálculos [ 5] . $k$

Fórmula de interpolación de Stirling

Si usamos un conjunto de nodos , donde , entonces usando la fórmula de Newton, podemos obtener la fórmula de Stirling [6] : $x_{k}=x_{0}+kh$ $k=-n,\;-n+1,\ldots,-1,\;0,\;1,\ldots,n$

P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\delta y_{0}+{\frac {t^{2}}{2}}\delta ^{2}y_ {0}+\ldots +{\frac {t(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2})}{(2n-1)!}} \delta ^{2n-1}y_{0}+{\frac {t^{2}(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2}) }{(2n)!}}\delta^{2n}y_{0}.

Aquí , y es la diferencia de orden finita central . $t={\frac{x-x_{0}}{h}}$ ${\ estilo de visualización \ delta ^ {k}}$ $k$

Fórmula de interpolación de Bessel

De manera similar, se puede obtener la fórmula de Bessel, que tiene la forma [7]

P_{n}(x_{0}+th)=y_{1/2}+\left(t-{\frac {1}{2}}\right)\Delta y_{1/2}+ {\frac {t(t-1)}{2}}\Delta ^{2}y_{1/2}+\cdots +{\frac {t(t^{2}-1)\cdots (t^ {2}-(n-1)^{2})(tn)}{(2n)!}}\Delta ^{2n}y_{1/2}+{\frac {t(t^{2}- 1)\cdots (t^{2}-(n-1)^{2})(tn)(t-{\frac {1}{2)))}{(2n+1)!}}\Delta ^{2n+1}y_{1/2}.

Esta fórmula es especialmente conveniente para la interpolación en , ya que en este caso todos los términos que contienen diferencias finitas de orden impar desaparecen. Este caso corresponde al valor , es decir, interpolación "a la mitad" [8] . $t={\frac{1}{2}}$ $x=x_{0}+{\frac{1}{2}}h$

Véase también

Notas

↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , pág. 85.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , pág. 91.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , pág. 119.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , pág. 115.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , pág. 107.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , pág. 127.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , pág. 129.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , pág. 130.

Literatura

Goncharov, VL Teoría de la interpolación y aproximación de funciones. - 2ª ed., revisada.. -M.:Editorial estatal de literatura técnica y teórica, 1954.
Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Métodos computacionales. - 2ª ed. -M.:Fizmatlit, 1962. - T. I. (Ruso)

Enlaces

[bse.sci-lib.com/article055748.html Gran Enciclopedia Soviética]