Fórmula de interpolación de Gauss

La fórmula de interpolación de Gauss es una fórmula que utiliza los nodos más cercanos al punto de interpolación como nodos de interpolación. Se construye utilizando la fórmula de interpolación de Newton . $X$

Sea necesario interpolar alguna función . Si , donde está algún punto inicial , entonces la fórmula $F$ $x=x_{0}+th$ $x_{0}$ ${\ estilo de visualización h> 0}$

G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t-1) \over 2!}+\ldots +f_{1/2}^{2n-1}{\frac {t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2 }]}{(2n-1)!}}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2} ](tn)\over(2n)!},

escrito por nodos se llama la fórmula de Gauss para la interpolación directa , y la fórmula $x_{0},~x_{0}+h,~x_{0}-h,\ldots,~x_{0}+nh,~x_{0}-nh$

G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{-1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t+1) \ sobre 2!}+\ldots +f_{-1/2}^{2n-1}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2} ] \sobre (2n-1)!}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}]( t+n)\over(2n)!},

escrito en nudos se llama la fórmula de Gauss para la interpolación hacia atrás . $x_{0},~x_{0}-h,~x_{0}+h,\ldots,~x_{0}-nh,~x_{0}+nh$

Ambas fórmulas usan diferencias finitas definidas de la siguiente manera:

f_{i}=f(x_{i}),\;f_{i+1/2}^{1}=f_{i+1}-f_{i},\;f_{i}^ {m}=f_{i+1/2}^{m-1}-f_{i-1/2}^{m-1}

La ventaja de la fórmula de interpolación de Gauss es que esta elección de nodos de interpolación proporciona la mejor estimación del término restante en comparación con cualquier otra elección, y el orden de los nodos a medida que se acercan al punto de interpolación reduce el error de cálculo de la interpolación.

Literatura

Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Métodos computacionales. Volumen I. - 2a ed., estereotipada - M .: Fizmatgiz . 1962.
Bakhvalov N. S. Métodos numéricos, M., 1973.