Categoría Lyusternik-Shnirelman
La categoría de Lyusternik-Shnirelman es una característica de un espacio topológico : el número mínimo de tales conjuntos cerrados que se pueden cubrir y cada uno de los cuales se puede contraer en un punto por medio de una deformación continua en . La categoría es importante para el cálculo de variaciones , ya que estima desde abajo el número de puntos estacionarios (críticos) de una función suave en una variedad cerrada.
Propiedades
- La categoría Lyusternik-Shnirelman es una homotopía invariante de .
- , donde denota espacio proyectivo real - dimensional .
- donde la longitud de la cohomología se define como el mayor número de clases de cohomología de dimensión positiva cuyo producto es distinto de cero.
Historia
La categoría fue introducida por Lyusternik en 1931 al resolver una serie de problemas, incluido el problema de tres geodésicas cerradas en superficies homeomorfas a una esfera bidimensional. Fue el primero en calcularlo para un espacio proyectivo real . Posteriormente, junto con Shnirelman , la categoría se utilizó para probar la conjetura de Poincaré sobre la existencia de tres geodésicas cerradas sobre cuerpos convexos.