Función cuasi-convexa
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Una función cuasi-convexa es una generalización del concepto de función convexa , que ha encontrado una amplia aplicación en la optimización no lineal , en particular, cuando se aplica la optimización a la economía .
Definición
Sea X un subconjunto convexo de . Una función se llama cuasi-convexa o unimodal si la siguiente desigualdad se cumple para elementos arbitrarios y :
Si también:
para y entonces se dice que la función es estrictamente cuasi-convexa .
Una función se llama cuasi- cóncava (estrictamente cuasi-cóncava) si es cuasi-convexa (estrictamente cuasi-convexa).
De manera similar, una función es cuasi cóncava si
y estrictamente cuasi-cóncava si
Una función que es cuasi-convexa y cuasi-cóncava se llama cuasi -lineal .
Ejemplos
- Una función convexa arbitraria es cuasi-convexa, una función cóncava arbitraria es cuasi-cóncava.
- La función es casi lineal en el conjunto de números reales positivos .
- La función es casi cóncava en el conjunto (el conjunto de pares de números no negativos) pero no es ni convexa ni cóncava.
- La función es casi convexa y no es ni convexa ni continua .
Propiedades
- La función , donde es un conjunto convexo , es cuasi-convexa si y solo si para todo el conjunto
convexo
Prueba. Sea el conjunto convexo para cualquier β. Fijamos dos puntos arbitrarios y consideramos el punto Puntos en . Dado que el conjunto es convexo, entonces , y, por lo tanto, es decir, se satisface la desigualdad dada en la definición y la función es cuasi-convexa.
Sea la función f cuasi-convexa. Para algunos fijamos puntos arbitrarios Entonces . Como X es un conjunto convexo, entonces para cualquier punto . De la definición de cuasi-convexidad se sigue que , es decir, . Otzhe, es un conjunto convexo.
- Una función continua , donde X es un conjunto convexo en , es casi convexa si y solo si se cumple una de las siguientes condiciones:
- f no es decreciente;
- f - no creciente;
- hay un punto tal que para toda la función f no es creciente, y para toda la función f no es decreciente.
Funciones cuasi-convexas diferenciables
para todos
- Sea f una función dos veces diferenciable. Si f es casi convexa en X, entonces se cumple la siguiente condición:
para todos
- Las condiciones necesarias y suficientes para la cuasi-convexidad y la cuasi-concavidad también se pueden dar en términos de la llamada matriz hessiana bordeada . Para la función , definimos los determinantes para :
Entonces las afirmaciones son verdaderas:
- Si la función f es casi convexa en un conjunto X , entonces D n (x) ≤ 0 para todo n y todo x de X .
- Si la función f es cuasi-cóncava en el conjunto X , entonces D 1 (x) ≤ 0, D 2 (x) ≥ 0, …, (-1) m D m (x) ≤ 0 para todo x con X .
- Si D n (x) ≤ 0 para todo n y todo x con X , entonces la función f es casi convexa en el conjunto X .
- Si D 1 (x) ≤ 0, D 2 (x) ≥ 0, …, (-1) m D m (x) ≤ 0 para todo x con X , la función f es casi cóncava en el conjunto X .
Operaciones que preservan la cuasi-convexidad
- El máximo de funciones cuasi convexas ponderadas con pesos no negativos, es decir
dónde
- una composición con una función no decreciente (si es cuasi-convexa, no es decreciente, entonces es cuasi-convexa).
- minimización (si f(x, y) es cuasi-convexo, C es un conjunto convexo, entonces es cuasi-convexo).
Enlaces
Literatura
- Alpha C Chiang, Métodos fundamentales de economía matemática, tercera edición, McGraw Hill Book Company, 1984.