Extensión final

Una extensión finita es una extensión de un campo tal que es de dimensión finita sobre un espacio vectorial . La dimensión de un espacio vectorial sobre se llama el grado de extensión y se denota por . $E\supset K$ $mi$ $k$ $mi$ $k$ $[E:K]$

Fin de propiedades de extensión

La extensión finita es siempre algebraica . En efecto, sea , dado que para cualquier elemento el conjunto de elementos no puede ser linealmente independiente, entonces existe un polinomio de grado no mayor que , tal que es su raíz. $[E:K]=n$ $\alpha \in E$ $n+1$ $1,\alfa ,\alfa ^{2},...\alfa ^{n}$ $k$ $norte$ $\alfa$

Una extensión algebraica simple es finita. Si un polinomio irreducible sobre tiene grado , entonces . $E=K(\alfa )$ $\alfa$ $k$ $norte$ $[E:K]=n$

En una torre de campos , un campo es finito sobre si y sólo si finito sobre y finito sobre . Esto se sigue fácilmente de las propiedades básicas de los espacios vectoriales. En este caso, si es una base sobre y es una base sobre entonces es una base sobre , por lo tanto . $F\supset E\supset K$ $F$ $k$ $F$ $mi$ $mi$ $k$ $e_{1},...e_{n}$ $mi$ $k$ $f_{1},...f_{m}$ $F$ $mi$ $f_{1}e_{1},f_{1}e_{2},...f_{1}e_{n},f_{2}e_{1},...f_{m}e_{1} ,...f_{m}e_{n}$ $F$ $k$ $[F:E][E:K]=[F:K]$

Una extensión finita E es finitamente generada . Podemos tomar elementos de cualquier base como elementos generadores . Por el contrario, cualquier extensión algebraica generada finitamente es finita. De hecho, . Los elementos que son algebraicos sobre permanecen así sobre un campo más grande . A continuación, aplicamos los teoremas sobre la finitud de extensiones algebraicas simples y la torre de extensiones finitas. $E=K(e_{1},...e_{n})$ $K(\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})=K(\alpha _{1})(\alpha _{2})...(\alpha _{norte})$ $\alpha_i$ $k$ $K(\alfa _{1})...(\alfa _{{i-1}})$

Si , por supuesto, entonces para cualquier extensión entonces (si y están contenidos en algún campo) el compuesto de campos es una extensión finita ). $E\supset K$ $F\supset K$ $F$ $mi$ $FE$ $F$

Literatura

Van der Waerden BL Álgebra - M:, Nauka, 1975
Zarissky O., Samuel P. Álgebra conmutativa v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Álgebra - M:, Mir, 1967