Coordenadas de Eddington-Finkelstein

Las coordenadas de Eddington-Finkelstein son un par de sistemas de coordenadas para la métrica de Schwarzschild ( agujero negro esféricamente simétrico ), que está adaptado para geodésicas nulas . La geodésica nula es la línea universal de los fotones ; Las geodésicas radiales son aquellas a lo largo de las cuales los fotones viajan directamente hacia o desde la masa central. Esta pareja lleva el nombre de Arthur Stanley Eddington [1] y David Finkelstein [2] . Se cree que sugirieron la idea, pero ninguno de ellos escribió explícitamente estas coordenadas o métricas. Aunque Roger Penrose [3] fue el primero en escribirlo, a Finkelstein, en el artículo citado anteriormente, y a Eddington y Finkelstein en su ensayo para el Premio Adams, se les atribuye el descubrimiento de las coordenadas ese mismo año. Los más influyentes Charles Misner , Kip Thorne y John Wheeler se refieren a estas coordenadas bajo este nombre en su libro Gravity [4] .

En estos sistemas de coordenadas, los rayos de luz radiales, cada uno siguiendo una geodésica nula a medida que se alejan o se acercan al centro, definen superficies de "tiempo" constante, mientras que la coordenada radial es la coordenada habitual del espacio, de modo que las superficies transversales a la coordenada radial, tienen simetría rotacional con un área de 4π r 2 . Una ventaja de este sistema de coordenadas es que muestra que la característica aparente en el radio de Schwarzschild es solo una singularidad de coordenadas , no una verdadera singularidad física. Aunque este hecho fue reconocido por Finkelstein, no fue reconocido (o al menos no comentado) por Eddington, cuyo principal objetivo era comparar y contrastar las soluciones esféricamente simétricas en la teoría de la gravedad de Whitehead y la versión de la relatividad de Einstein.

Métrica de Schwarzschild

Las coordenadas de Schwarzschild se denominan coordenadastales que en estas coordenadas la métrica de Schwarzschild se escribe como: ${\ estilo de visualización (t, r, \ theta, \ varphi)}$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)\,dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{r} }\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}

dónde

{\displaystyle d\Omega ^{2}\equiv d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2))

la métrica estándar de Riemann de una esfera bidimensional.

Aquí se utilizan las siguientes convenciones: firma métrica (− + + +) y unidades naturales , donde c = 1 es la velocidad adimensional de la luz, G es la constante gravitatoria y M es la masa característica de la geometría de Schwarzschild.

Coordenada de tortuga

Las coordenadas de Eddington-Finkelstein se basan en la coordenada de la tortuga [4] , que proviene de una de las paradojas de Zeno sobre una carrera imaginaria entre Aquiles "de pies veloces" y una tortuga .

La coordenada de la tortuga se define de la siguiente manera [4] : $r^{*}$

r^{*}=r+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|\,,

que satisface:

{\frac {dr^{*}}{dr}}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}\,.

La coordenada de la tortuga se acerca a medida que se acerca al radio de Schwarzschild . $r^{*}$ $-\infty$ $r$ ${\ estilo de visualización 2GM}$

Cuando cualquier sonda (por ejemplo, un rayo de luz o un observador) se acerca al horizonte de eventos de un agujero negro, su coordenada de tiempo de Schwarzschild aumenta hasta el infinito. Las líneas geodésicas cero que van al infinito en este sistema de coordenadas tienen un cambio infinito en t cuando van más allá del horizonte. La coordenada de la tortuga crece infinitamente a la velocidad adecuada y elimina el comportamiento singular en los sistemas de coordenadas construidos sobre su base.

Aumentar la coordenada de tiempo hasta el infinito a medida que se acerca al horizonte de eventos es la razón por la cual no se puede devolver la información de cualquier sonda enviada a través de dicho horizonte de eventos. Y esto a pesar de que la propia sonda, sin embargo, puede moverse más allá del horizonte. Esta es también la razón por la que la métrica de espacio-tiempo de un agujero negro, expresada en coordenadas de Schwarzschild, se vuelve singular en el horizonte y, por lo tanto, no se puede usar para obtener una imagen completa (en toda la región del espacio) de la trayectoria de la sonda que cae.

Métrica

El sistema de coordenadas Eddington-Finkelstein que se encoge se obtiene reemplazando la coordenada t con una nueva coordenada . En estas coordenadas, la métrica de Schwarzschild se puede escribir como [5] $v=t+r^{*}$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv^{2}+2\,dv\,dr+r^{2}d\Omega ^{2}\,,

donde se supone que

{\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2))

la métrica estándar de Riemann en la esfera bidimensional de radio unitario.

De manera similar, el sistema de coordenadas Eddington-Finkelstein en expansión se obtiene reemplazando t con una nueva coordenada . Entonces la métrica viene dada por la expresión [6] $u=tr^{*}$

ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)du^{2}-2\,du\,dr+r^{2}d\Omega ^{2}\,.

En ambos sistemas de coordenadas, la métrica claramente no tiene singularidad en el radio de Schwarzschild (incluso si un componente desaparece en ese radio, el determinante de la métrica aún no desaparece, y la métrica inversa tampoco tiene términos divergentes en ese punto) . El sistema de coordenadas en expansión describe la eyección de partículas desde el centro fuera del radio gravitacional, pero al intentar usarlo para la caída de partículas dentro del radio gravitatorio, surge una singularidad similar a la de Schwarzschild. Para un sistema de coordenadas que se contrae, las partículas entrantes dentro del radio gravitatorio no tienen una singularidad, pero se produce una singularidad cuando se trata de describir partículas salientes fuera del radio gravitatorio. Se utiliza un sistema de coordenadas que se encoge para describir el colapso gravitatorio [7] .

Para superficies cero v=const o =const , o equivalentemente =const o u=const , resulta que dv/dr y du/dr se aproximan a 0 y ± 2 en r grande , en lugar de ± 1, como cabría esperar, si consideramos u o v como "tiempo". Cuando se construyen diagramas de Eddington-Finkelstein, las superficies con u o v constantes generalmente se dibujan como conos, y las líneas u o v constantes se dibujan con una inclinación de 45 grados, no como planos [8] . Algunas fuentes usan reemplazo en su lugar , que corresponde a planos en dichos diagramas. En estas coordenadas (para ), la métrica se convierte en $v-2r^{*}$ $u+2r^{*}$ $t'=t\pm (r^{*}-r)\,$ $t'$

{\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dt'^{2}\pm {\frac {4GM}{r}}\,dt' \,dr+\left(1+{\frac {2GM}{r}}\right)\,dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}=(-dt'^{2} +dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2})+{\frac {2GM}{r))(dt'\pm dr)^{2))

que se convierte en Minkowski para r grande . Estas coordenadas y métricas de tiempo fueron presentadas por Eddington y Finkelstein en sus artículos.

Las coordenadas de Eddington-Finkelstein aún están incompletas y pueden extenderse. Por ejemplo, moverse al infinito es una geodésica similar al tiempo, definida (con el tiempo adecuado ) $\tau$

r(\tau )={\sqrt {2GM\tau }}

{\begin{alineado}v(\tau )&=\int {\frac {r(\tau )}{r(\tau )-2GM}}\,d\tau \\&=C+\tau +2{\sqrt {2GM\tau }}+4GM\ln \left({\sqrt {\frac {\tau }{2GM}}}-1\right)\end{alineado}}

tener v ( τ ) → −∞ como τ → 2 GM . Es decir, esta geodésica temporal tiene una longitud propia finita hasta el pasado, donde sale del horizonte ( r = 2 GM ) cuando v se acerca . Los dominios para vyr finitos < 2 GM son diferentes de aquellos para u y r finitos < 2 GM . Un horizonte con r = 2 GM y una v final ( horizonte de agujero negro ) es diferente de un horizonte con r = 2 GM y u final ( horizonte de agujero blanco ). $-\infty$

La métrica en coordenadas Kruskal-Szekeres cubre todo el espacio-tiempo extendido de Schwarzschild en un solo sistema de coordenadas. Su principal inconveniente es que en estas coordenadas la métrica depende tanto de coordenadas temporales como espaciales. En el sistema de coordenadas de Eddington-Finkelstein, como en las coordenadas de Schwarzschild, la métrica no depende del "tiempo" (ya sea t en Schwarzschild, o u o v en varios sistemas de coordenadas de Eddington-Finkelstein), pero ninguno de ellos cubre todo el espacio. -tiempo [7] .

Las coordenadas de Eddington-Finkelstein tienen algunas similitudes con las coordenadas de Gullstrand-Painlevé en que ambas son independientes del tiempo y penetran (regularmente) en horizontes futuros (agujero negro) o pasados (agujero blanco). Ambas métricas no son diagonales (las hipersuperficies de "tiempo" constante no son ortogonales a las hipersuperficies de r constante ). Los últimos tienen una métrica espacial plana, mientras que las hipersuperficies espaciales (constante de "tiempo") de los primeros son cero y tienen la misma métrica que un cono de luz en el espacio de Minkowski ( en el espacio-tiempo plano). $t=\pm r$

Notas

↑ Eddington A. S. (febrero de 1924). “ Comparación de las fórmulas de Whitehead y Einstein ” (PDF) . naturaleza _ 113 (2832): 192. Bibcode : 1924Natur.113..192E . DOI : 10.1038/113192a0 . Archivado (PDF) desde el original el 22 de noviembre de 2021 . Consultado el 26 de junio de 2021 . Parámetro obsoleto utilizado |deadlink=( ayuda )
↑ David Finkelstein (1958). " Asimetría del campo gravitatorio de una partícula puntual en el pasado y el futuro " . Revisión física . 110 : 965-967. Bibcode : 1958PhRv..110..965F . DOI : 10.1103/PhysRev.110.965 .
↑ Roger Penrose (1965). “ Colapso de la gravedad y singularidades del espacio-tiempo ” . Cartas de revisión física . 14 (3):57-59. Código Bib : 1965PhRvL..14...57P . DOI : 10.1103/PhysRevLett.14.57 .
↑ 1 2 3 Misner, Thorne & Wheeler, 1977 , p. 24
↑ Mizner, Thorne y Wheeler 1977 , pág. 25
↑ Mizner, Thorne y Wheeler 1977 , pág. 26
↑ 1 2 Misner, Thorne y Wheeler, 1977 , p. 27
↑ Véase, por ejemplo, el recuadro 31.2 en Gravity.

Literatura

Mizner C. , Thorn K. , Wheeler J. Gravedad. - M. : Mir, 1977. - T. 3. - 510 p.