Coeficientes de Clebsch-Gordan

Los coeficientes de Clebsch-Gordan encuentran aplicación para describir la interacción de los momentos angulares de la mecánica cuántica. Son los coeficientes de expansión de las funciones propias del momento angular total en términos de la base de las funciones propias del momento angular sumado. Los coeficientes de Clebsch-Gordan se utilizan en el cálculo de la interacción espín-órbita , así como en el formalismo isospín .

Los coeficientes de Clebsch-Gordan llevan el nombre de Alfred Clebsch (1833-1872) y Paul Albert Gordan (1837-1912).

Interacción del momento angular

Véase también el artículo Operador Momentum .

Consideremos dos momentos angulares y , que tienen números cuánticos y ( -componente) y y . En este caso , y tomar los valores y respectivamente. Los momentos angulares conmutan , lo que significa que ambos pueden medirse simultáneamente con cualquier precisión. Cada momento de impulso corresponde a su propia base de funciones propias (vectores): o . En la base , el momento toma una forma diagonal simple, de manera similar en la base . $J_{1}$ $J_{2}$ $j_{1}$ $m_1$ $z$ $j_{2}$ $m_2$ $m_1$ $m_2$ $m_{1}=[-j_{1},\;\ldots,\;j_{1}]$ $m_{2}=[-j_{2},\;\ldots,\;j_{2}]$ ${\ estilo de visualización [J_{1},\;J_{2}]=0}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda | j_ {1}, \; m_ {1} \ derecho \ rangle}$ $\left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle$ ${\ estilo de visualización \ izquierda | j_ {1}, \; m_ {1} \ derecho \ rangle}$ $J_{1}$ $J_{2}$ $\left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle$

Al interactuar, tanto el momento angular y suman un momento común , que tiene números cuánticos y , tomando los siguientes valores $J_{1}$ $J_{2}$ ${\vec {J}}={\vec {J_{1}}}+{\vec {J_{2}}}$ $j$ $METRO$

|j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant |j_{1}+j_{2}|

y (con el paso 1).

M=[-J,\;\ldots,\;J]

Dado que el momento angular total consta de dos momentos angulares separados y , entonces se puede expandir en el espacio del producto de dos espacios propios de momentos individuales: $J_{1}$ $J_{2}$

\left|j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle =\left|j_{1},\;m_{1} \right\rangle \otimes \left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle .

Sin embargo, los vectores de esta base no serán vectores propios del momento angular total y su representación en esta base no tendrá forma de diagonal simple. ${\ estilo de visualización {\ vec {J}}}$

Base de vectores propios del momento angular total

Los vectores propios de cantidad de movimiento están determinados únicamente por los números cuánticos , y . En base a estos vectores, el momento total toma una forma diagonal simple. A saber ${\ estilo de visualización {\ vec {J}}}$ $j$ $METRO$ $j_{1}$ $j_{2}$ $j$

{\vec {J}}\,^{2}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =J(J+1)\ hbar ^{2}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle ;

J_{z}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =M\hbar \left|J,\;M,\;j_{ 1},\;j_{2}\right\rangle .

Los coeficientes de Clebsch-Gordan dan una transición mediante una transformación unitaria desde la base del producto de espacios propios de momentos individuales a la base de vectores propios . $\left|j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle$ $\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle$

\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =\sum _{m_{1},\;m_{2}}\left|j_ {1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\ ;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle .

Estos son los coeficientes de Clebsch-Gordan. $\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\ángulo$

Propiedades de los coeficientes de Clebsch-Gordan

Los coeficientes de Clebsch-Gordan son iguales a cero si una de las dos condiciones no se cumple : $|j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant j_{1}+j_{2}$ ${\displaystyle M=m_{1}+m_{2))$

\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle \neq 0\quad \Rightarrow \quad |j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant j_{1}+j_{2}\;\wedge \;M=m_{1}+ m_{2}.

Los coeficientes de Clebsch-Gordan están dados por números reales:

\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle\in\mathbb {R} .

El coeficiente de Clebsch-Gordan en se establece como positivo: ${\ estilo de visualización M = J}$

\langle j_{1},\;j_{1};\;j_{2},\;J-j_{1}\vert J,\;J,\;j_{1},\;j_ {2}\rango >0.

Los coeficientes de Clebsch-Gordan son iguales en valor absoluto en : ${\ estilo de visualización M = - M}$

\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle =(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1},\;-m_{1};\;j_{2},\;-m_{2 }\vert J,\;-M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle .

Los coeficientes de Clebsch-Gordan satisfacen la condición de ortogonalidad:

\sum _{m_{1},\;m_{2}}\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J, \;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J' ,\;M',\;j_{1},\;j_{2}\rangle =\delta _{JJ'}\delta _{MM'}.

Los coeficientes de Clebsch-Gordan satisfacen la condición de ortogonalidad:

\sum _{J,\;M}\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\; j_{1},\;j_{2}\rangle \langle j_{1},\;m'_{1};j_{2},\;m'_{2}\vert J,\;M, \;j_{1},\;j_{2}\rangle =\delta _{m_{1}m'_{1}}\delta _{m_{2}m'_{2}}.

Cálculo de los coeficientes de Clebsch-Gordan

El estado propio con y se obtiene directamente en base al producto de los espacios propios de los momentos constituyentes (solo un coeficiente es 1, el resto son cero) ${\displaystyle J=j_{1}+j_{2))$ ${\ estilo de visualización M = J}$

|j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2},\;j_{1},\;j_{2}\rangle =|j_{1},\; j_{1};\;j_{2},\;j_{2}\rangle .

Al aplicar el operador de decremento , puede obtener los estados desde hasta , o todos los estados desde y . ${\displaystyle J_{-}=J_{1\,-}+J_{2\,-))$ $|j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1},\;j_{2}\rangle$ $|j_{1}+j_{2},\;-j_{1}-j_{2},\;j_{1},j_{2}\rangle$ ${\displaystyle J=j_{1}+j_{2))$ ${\displaystyle M=-J,\;\ldots,\;J=-j_{1}-j_{2},\;\ldots,\;j_{1}+j_{2))$

El estado se puede obtener a partir de la condición de ortogonalidad al estado y la concordancia de que el coeficiente de Clebsch-Gordan en es positivo. $|j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1},\;j_{2}\rangle$ $|j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2}-1,\;j_{1},\;j_{2}\rangle$ ${\ estilo de visualización M = J}$

Al aplicar el operador de disminución a , podemos obtener nuevamente todos los estados con . Puede aplicar iterativamente este procedimiento a todos hasta . $J=j_{1}+j_{2}-1$ $M=-j_{1}-j_{2}+1,\;\ldots,\;j_{1}+j_{2}-1$ $j$ $J=|j_{1}-j_{2}|$

En la práctica, el cálculo de los coeficientes de Clebsch-Gordan se realiza según la fórmula:

\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2 }\rangle ={\sqrt {2j+1}}{\sqrt {\Delta _{j_{1}j_{2}j}}}{\sqrt {\dfrac {(j_{1}+m_{1} )!(jm)!}{(j_{1}-m_{1})!(j_{2}+m_{2})!(j_{2}-m_{2})!(j+m)! }}}\veces

\times \sum _{s=\max(m_{1}+m_{2},\;j_{1}-j_{2})}^{j}{\dfrac {(-1)^ {j_{1}+m_{2}-s}(j+s)!(j_{2}+s-m_{1})!}{(js)!(s-m_{1}-m_{2 })!(s-j_{1}+j_{2})!(j_{1}+j_{2}+s+1)!}},

dónde

\Delta_{j_{1}j_{2}j}={\frac {(j_{1}+j_{2}-j)!(j_{2}+j-j_{1})! (j+j_{1}+j_{2}+1)!}{(j_{1}-j_{2}+j)!}}.

Si es un número entero, entonces la suma en esta fórmula se lleva a cabo sobre valores enteros , y si es un medio entero, entonces la suma se lleva a cabo sobre valores medio enteros . ${\ estilo de visualización j_{1}-j_{2))$ $s$ ${\ estilo de visualización j_{1}-j_{2))$ $s$

Coeficientes de Clebsch-Gordan del grupo de transformación (coeficientes de Clebsch-Gordan generalizados)

Considere un grupo y su representación . Elijamos también vectores base y representaciones irreducibles de este grupo. Llamamos operador tensorial irreducible ( tensor irreductible ) a un conjunto de operadores si, como resultado de transformaciones que forman un grupo , las componentes del tensor se transforman entre sí según representaciones irreducibles de ese grupo, es decir, se cumple la siguiente relación : $GRAMO$ ${\ estilo de visualización \ psi _ {\ mu} ^ {(\ alfa)})$ ${\ estilo de visualización \ psi _ {\ nu} ^ {(\ beta)})$ ${\ estilo de visualización D^ {(\ alfa)))$ ${\displaystyle D^{(\beta)))$ $f_{k}$ $\{{\hat {F}}_{\chi }^{(k)}\}_{1}^{f_{k}}$ $gramo$ $GRAMO$ ${\displaystyle {\sombrero {F}}_{\chi }^{(k)))$ $D^{(k)}$

{\tilde {\sombrero {F}}}_{\chi }^{(k)}=\sum _{\chi '}D_{\chi '\chi }^{(k)}(g ){\sombrero {F}}_{\chi '}^{(k)}.

Los vectores donde forman la base de la representación . Esta representación es, en general, reducible. Por lo tanto, se puede representar como combinaciones lineales de vectores base de representaciones irreducibles en las que se divide el producto directo de las representaciones (mencionado anteriormente) . Para ello se utilizan los coeficientes de Clebsh-Gordan generalizados del grupo . $|{\sombrero {F}}_{\chi }^{(k)}\psi _{\nu }^{(\beta )}\rangle$ ${\displaystyle \chi =1,\;2,\;\ldots,\;f_{k};\;\nu =1,\;2,\;\ldots,\;f_{\beta ))$ ${\displaystyle D^{(k)}\veces D^{(\beta)))$ ${\displaystyle D^{(\gamma)))$ $GRAMO$ $\langle k\chi ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle$

|{\hat {F}}_{\chi }^{(k)}\psi _{\nu }^{(\beta )}\rangle =\sum _{\gamma \rho }\langle k\chi ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle \({\hat {F))^{(k)}\psi ^{(\beta )}\}_{\rho }^ {\gamma}.

Los coeficientes de Clebsch-Gordan generalizados de un grupo se definen como los coeficientes en la expansión de los vectores base de representaciones irreducibles en una combinación lineal del producto directo de las representaciones . ${\displaystyle {\sombrero {D}}^{(\gamma )))$ ${\displaystyle {\sombrero {D}}^{(\alpha )}\times {\sombrero {D}}^{(\beta )))$

\{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }=\sum _{\mu ,\;\nu }\langle \alpha \mu ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle V_{\mu }^{(\alpha )}V_{\nu }^{(\beta )},

donde son los vectores base de las representaciones , y son los vectores base de la representación : . ${\displaystyle V_{\mu }^{(\alpha )},V_{\nu }^{(\beta )))$ ${\displaystyle {\sombrero {D}}^{(\alpha )},\;{\sombrero {D}}^{(\beta )))$ $\{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }$ ${\displaystyle {\sombrero {D}}^{(\gamma )))$ ${\displaystyle {\hat {D}}^{(\alpha )}\times {\hat {D}}^{(\beta )}=\sum _{\gamma }^{\oplus }a^{( \gamma )}{\sombrero {D}}^{(\gamma )))$

De la definición de los coeficientes de Clebsch-Gordan se sigue: . $V_{\mu }^{(\alpha )}V_{\nu }^{(\beta )}=\sum _{\gamma \rho }\langle \alpha \mu ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle \{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }$
Los coeficientes de Clebsch-Gordan forman una matriz unitaria.

Véase también

Enlaces

Tabla con ejemplos para algunos valores de y $j_{1}$ $j_{2}$ (PDF, 70 kB) ( Nota : esta tabla asume que se debe tomar la raíz cuadrada del valor del coeficiente)

Literatura

Sobelman II Introducción a la teoría de los espectros atómicos. - Editorial de Literatura, 1963.
Blokhintsev D. I. Fundamentos de la mecánica cuántica. — 5ª ed. - Nauka, 1976. - 664 págs.