Teorema de Wigner-Eckart

El teorema de Wigner-Eckart es un teorema de la teoría de la representación y la mecánica cuántica . Dice que el elemento de matriz del operador esférico en base a las funciones propias del operador de momento angular se puede representar como un producto de dos cantidades, una de las cuales no depende de las proyecciones del momento angular, y la otra otro es el coeficiente de Clebsch-Gordan . El nombre del teorema se deriva de los nombres de Eugene Wigner y Karl Eckart , quienes desarrollaron una construcción que conecta la simetría de la transformación de grupos espaciales con las leyes de conservación de la energía, el momento y el momento angular. [una]

El teorema de Wigner-Eckart se formula de la siguiente manera:

\langle jm|T_{q}^{k}|j'm'\rangle =\langle j||T^{k}||j'\rangle C_{kqj'm'}^{jm} ,

donde es un tensor esférico rango , y son las funciones propias del momento angular total y su componente z , no depende de y , y son los coeficientes de adición de Clebsch-Gordan y para obtener . $T_{q}^{k}$ $k$ $|jm\rangle$ $|j'm'\rangle$ $J^{2}$ $J_{z}$ $\langle j||T^{k}||j'\rangle$ $metro$ $q$ $C_{{kqj'm'}}^{{jm}}=\langle j'm';kq|jm\rangle$ $j'$ $k$ $j$

Como consecuencia, el Teorema de Wigner-Eckart nos dice que la acción del operador tensor de rango esférico sobre la función propia del momento angular es lo mismo que agregar un estado con momento angular al estado original. Los elementos de la matriz encontrados para el operador de tensor esférico son proporcionales a los coeficientes de Clebsch-Gordan que surgen cuando se suman dos momentos angulares. $k$ $k$

Ejemplo

Considere el valor promedio de la coordenada . Este elemento de la matriz es el valor medio del operador de coordenadas en la base esféricamente simétrica de los estados propios del átomo de hidrógeno. Encontrar estos elementos de la matriz no es una tarea trivial. Sin embargo, el uso del teorema de Wigner-Eckart simplifica esta tarea. (De hecho, es posible obtener la solución de inmediato usando paridad ). $\langle njm|x|njm\rangle$

Se sabe que es una de las componentes del vector . Los vectores son tensores de primer rango, también lo es alguna combinación lineal de , donde . Se puede demostrar que , donde los tensores esféricos [2] se definen de la siguiente manera: y (los signos deben elegirse de acuerdo con la definición [2] del tensor esférico de rango . Por lo tanto, son proporcionales solo a los operadores de escalera ). Es por eso $X$ ${\ vec {r))$ $X$ $T_{q}^{1}$ ${\ estilo de visualización q = -1,0,1}$ $x={\tfrac {T_{-1}^{1}-T_{1}^{1}}{\sqrt {2}}}$ $T_{0}^{1}=z$ $T_{\pm 1}^{1}=\mp (x\pm iy)/{\sqrt {2))$ $k$ ${\displaystyle T_{q}^{1))$

\langle njm|x|n'j'm'\rangle =\left\langle njm\left|{\tfrac {T_{-1}^{1}-T_{1}^{1}}{ \sqrt {2}}}\right|n'j'm'\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle nj||T^{1}||n'j '\rangle (C_{1(-1)j'm'}^{jm}-C_{11j'm'}^{jm}).

Las expresiones anteriores nos dan los elementos de la matriz para en base . Para encontrar el valor medio, ponemos , y . Las reglas de selección para y son las siguientes: para tensores esféricos . Tan pronto como , los coeficientes de Clebsch-Gordan desaparecen, lo que conduce a valores medios cero. $X$ $|njm\rangle$ $n'=n$ $j'=j$ $m'=m$ $metro'$ $metro$ $m\pm 1=m'$ $T_{{\mp 1}}^{{(1)))$ $m'=m$

Notas

↑ Biografía de Eckart Archivado el 25 de marzo de 2007. — Prensa de las Academias Nacionales.
↑ 1 2 J. J. Sakurai: "Mecánica cuántica moderna" (Massachusetts, 1994, Addison-Wesley).

Enlaces

JJ Sakurai, (1994). "Mecánica cuántica moderna", Addison Wesley, ISBN 0-201-53929-2 .
Weisstein, teorema de Eric W. Wigner-Eckart (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Teorema de Wigner-Eckart
Operadores tensoriales