Criterio de Dulac

El criterio de Dulac es un teorema en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos, formulado por el matemático francés Henri Dulac . Representa una condición suficiente que en un dominio simplemente conexo en un plano, un campo vectorial no tenga trayectorias cerradas (ciclos) y policiclos .

Redacción

Sea dado un campo vectorial continuamente diferenciable en el plano, es decir, un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

{\punto {x}}=f(x,y),\,\,\,\,{\punto {y}}=g(x,y)

Si en un dominio simplemente conexo existe una función suave tal que la expresión ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{2))$ ${\ estilo de visualización B (x, y)}$

{\frac {\parcial \left(B(x,y)\cdot f(x,y)\right)}{\parcial x))+{\frac {\parcial \left(B(x, y)\cdot g(x,y)\right)}{\parcial y))

es de signo constante y no desaparece en , entonces en esta región no hay curvas cerradas formadas por trayectorias del sistema. [una] $D$

La función se llama función de Dulac . Un caso especial del criterio de Dulac con una función se llama teorema de Bendixson sobre la ausencia de trayectorias cerradas . ${\ estilo de visualización B (x, y)}$ ${\ estilo de visualización B (x, y) = 1}$

Prueba

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que en un dominio simplemente conexo existe una función tal que: $D$ ${\ estilo de visualización B (x, y)}$

{\frac {\parcial \left(B(x,y)\cdot f(x,y)\right)}{\parcial x))+{\frac {\parcial \left(B(x, y)\cdot g(x,y)\right)}{\parcial y}}>0

Sea una curva cerrada que consta de una o más trayectorias que limita un área . Entonces el teorema de Green implica la igualdad $C$ ${\ estilo de visualización S \ subconjunto D}$

\iint _{S}{\left({\frac {\parcial \left(B(x,y)\cdot f(x,y)\right)}{\parcial x))+{\frac {\parcial \left(B(x,y)\cdot g(x,y)\right)}{\parcial y}}\right)dxdy}=\oint _{C}{\left(B(x, y)\cdot f(x,y)\,dy-B(x,y)\cdot g(x,y)\,dx\right)}=\oint _{C}{B(x,y)\ izquierda({\dot {x}}\,dy-{\dot {y}}\,dx\right)}.

Pero, ya que a lo largo de : y , entonces: $C$ $dx={\dot {x}}\,dt$ $dy={\dot {y}}\,dt$

\oint_{C}{B(x,y)\left({\dot {x}}\,dy-{\dot {y}}\,dx\right)}=\oint_{C {B(x,y)\left({\dot {x}}{\dot {y}}\,dt-{\dot {y}}{\dot {x}}\,dt\right)} =0

Esto significa que la trayectoria no se puede cerrar. ■ $C$

Notas

↑ Bautin N.N., Leontovich E.A. Métodos y técnicas para un estudio cualitativo de sistemas dinámicos en un plano (2ª ed., add.) M.: Nauka, 1990. Pp. 113

Literatura

Bautin N.N., Leontovich E.A. Métodos y técnicas para un estudio cualitativo de sistemas dinámicos en un plano (2ª ed., add.) Moscú: Nauka, 1990. 486 p.
Carmen Charles Chicone . Ecuaciones diferenciales ordinarias con aplicaciones
N. F. Britton . biología matemática esencial
Henryk Zoladek . El grupo de la monodromía