Criterio de Silvestre

El criterio de Sylvester determina si una matriz cuadrada simétrica es definida positiva (negativa, no negativa) .

Deje que la forma cuadrática tenga una matriz en alguna base

A=\left|{\begin{vmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&\ldots &a_{{1n}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\ldots &a_ {{2n}}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{{n1}}&a_{{n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{vmatrix}}\right| .

Entonces esta forma es definida positiva si y solo si todos sus menores angulares de tamaño i × i , donde i varía sobre todos los números enteros de 1 a n inclusive, son positivos; y es definido negativo si y solo si los signos se alternan, además [1] . Aquí, los menores angulares de una matriz son los determinantes de la forma $\Delta _{i}$ $\Delta _{i}$ $\Delta _{1} <0$ $A$

\Delta _{1}=a_{11},\ \Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{ vmatriz}},\ldots,\Delta _{i}={\begin{vmatriz}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1i}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{ 2i}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{i1}&a_{i2}&\ldots &a_{ii}\end{vmatrix}},\ldots

Prueba

Un criterio para la definición positiva de una forma cuadrática

El criterio dice que

Para que una forma cuadrática sea definida positiva, es necesario y suficiente que los ángulos menores de su matriz sean positivos.

Su prueba se basa en el método de Jacobi de reducir una forma cuadrática a una forma canónica.

Prueba de necesidad

Sea una forma cuadrática definida positiva. Entonces el j -ésimo elemento diagonal es positivo, ya que , donde es un vector con todas las coordenadas cero excepto j -ésimo. Al reducir la matriz a la forma canónica, debido a la no degeneración de los menores angulares, no será necesario reordenar las filas, por lo tanto, como resultado, los signos de los menores principales de la matriz no cambiarán. Y en la forma canónica, los elementos diagonales son positivos, y por tanto los menores son positivos; por lo tanto, (dado que su signo no cambió durante las transformaciones) para una forma cuadrática definida positiva en cualquier base, los principales menores de la matriz son positivos. $q(x)$ ${\ estilo de visualización q (e_ {j})> 0}$ $e_j$

Prueba de suficiencia

Se da una forma cuadrática simétrica, cuyos menores angulares son todos positivos. Consideremos primero el primer elemento diagonal en su forma canónica: su signo está determinado por el primer angular menor. Además, el signo del número determina el signo del ( i + 1)-ésimo elemento en la forma diagonal. Resulta que en la forma canónica todos los elementos de la diagonal son positivos, es decir, la forma cuadrática está definida positivamente. [2] ${\ estilo de visualización \ Delta _ {i + 1}/\ Delta _ {i}}$

Un criterio para la definición negativa de una forma cuadrática

Para que una forma cuadrática sea definida negativa, es necesario y suficiente que los menores angulares de orden par de su matriz sean positivos y los de orden impar negativos.

La demostración se reduce al caso anterior, ya que una matriz es definida negativa si y solo si la matriz es definida positiva. Cuando se reemplaza una matriz por su opuesto, los principales menores de orden impar cambian de signo, mientras que los principales menores de orden par permanecen iguales debido a las propiedades básicas de los determinantes. $A$ $-A$ $A$

Un criterio para la semidefinición de una forma cuadrática

Para matrices semidefinidas positivas , el criterio es similar: la forma es semidefinida positiva si y solo si todos los principales menores son no negativos. Aquí, el menor principal es el determinante de una submatriz que es simétrica con respecto a la diagonal principal, es decir, una submatriz cuyos conjuntos de números de fila y columna que la especifican son los mismos (por ejemplo, las columnas 1 y 3 y las filas en cuya intersección se encuentra la matriz) [3] .

No es suficiente la no negatividad de solo los menores angulares, lo que se sigue del contraejemplo : , pero la forma no es semidefinida positiva. ${\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {1} = \ Delta _ {2} = 0 \ geqslant 0}$

Véase también

James José Silvestre

Notas

↑ Criterio de Sylvester para la definición de signo de una forma cuadrática . (indefinido)
↑ D. V. Beklemishev, Curso de Geometría Analítica y Álgebra Lineal , Moscú: FIZMATLIT, 2007.
↑ Kim G.D., Kritskov L.V. Álgebra y geometría analítica: teoremas y problemas. T 2.2 . - Moscú: Zertsalo, 2003. - S. 155. - 251 p. — ISBN 5-94373-077-X .