Dinámica crítica

La dinámica crítica es una rama de la teoría del comportamiento crítico y la física estadística que describe las propiedades dinámicas de un sistema físico en o cerca de un punto crítico . Es una continuación y generalización de la estática crítica, que permite describir las cantidades y características de un sistema que no se puede expresar solo en términos de funciones de distribución de equilibrio simultáneas . Tales cantidades son, por ejemplo, coeficientes de transporte, tasas de relajación, funciones de correlación multitemporal y funciones de respuesta a perturbaciones dependientes del tiempo.

Como toda física estadística , la dinámica crítica trata con un número enorme o incluso infinito de grados de libertad . El desarrollo de tales sistemas en el tiempo se caracteriza por varios procesos estocásticos (aleatorios): movimiento térmico y colisión de moléculas en un sistema gaseoso, reorientación de espines reticulares en un sólido, aparición e interacción de vórtices turbulentos en un flujo de fluido. La formulación y solución de tales problemas se lleva a cabo utilizando el formalismo de la teoría cuántica de campos , que fue creada originalmente para las necesidades de la física de altas energías y partículas elementales. La estocasticidad de los procesos se modela introduciendo un término aleatorio adicional en las ecuaciones dinámicas: "ruido" con una distribución conocida (generalmente gaussiana ).

Breve descripción del sistema

Planteamiento de problemas de dinámica estocástica

Denotando para el conjunto de coordenadas espaciales e índices del sistema, para todo el conjunto de campos en el sistema, podemos escribir la formulación estándar del problema de la dinámica estocástica. $X$ $\fi(x)$

\parcial _{t}\phi (x)=U(x;\phi )+\eta (x),\ \ \ <{\hat {\eta }}(x){\hat {\eta }}(x')>=D(x,x')

Aquí U es un funcional t-local dado, una fuerza externa aleatoria que modela todos los procesos que cambian rápidamente en el sistema. Se supone que tiene una distribución gaussiana con una media cero y un correlador D dado. También se cumplen la condición de retardo y algunas condiciones de contorno, que generalmente se toman como cero a veces $\eta$ $t->-\infty$

Esta es la forma más general de la ecuación de evolución en problemas de dinámica estocástica. Por supuesto, para cualquier elección de la funcional U y el correlador D, no tendrá una solución simple.

A continuación damos varios ejemplos de problemas de dinámica estocástica.

Movimiento browniano

Escribamos las ecuaciones para el movimiento browniano en el lenguaje de la dinámica estocástica:

$\parcial _{t}r_{i}(t)=\eta _{i}(t),\ \ \ <{\hat {\eta }}_{i}(t){\hat { \eta }}_{k}(t')>=2\alfa \delta _{ik}\delta (tt')$

Aquí , U = 0, la constante tiene el significado del coeficiente de difusión. ${\ estilo de visualización \ phi (x) \ equivalente r_ {i} (t)}$ $\alfa$

La ecuación de Navier-Stokes

La ecuación dinámica de Navier-Stokes también se puede formular en este lenguaje. Las tareas críticas para la ecuación serán la tarea de describir la turbulencia , incluida la turbulencia desarrollada (para sistemas con valores grandes de números de Reynolds), construir la función de distribución de vórtices sobre el vector de onda (en la representación de Fourier del campo de velocidad) y probar la teoría fenomenológica de Kolmogorov.

\parcial_{t}\phi_{i}(x)=\nu \Delta \phi_{i}(x)-\parcial_{i}P-\phi_{j}\parcial_ {j}\phi_{i}

{\ estilo de visualización \ parcial _ {i} \ phi _ {i} = 0 \ \ }

(condición transversal)

Aquí , es el campo vectorial de velocidad incompresible, es la viscosidad cinemática y p es la presión. $\fi$ $\nu$

Problemas tipo Langevin

En la clase de problemas de dinámica estocástica, tradicionalmente se distingue una clase más estrecha de problemas de dinámica crítica, en la que se imponen condiciones adicionales sobre los campos en consideración y sobre la forma del funcional U (el funcional t-local en el lado derecho de la ecuación dinámica de los campos). En primer lugar, como un conjunto de campos del sistema, un conjunto de campos correspondientes a los llamados. modos suaves. Un modo suave es cualquier cantidad cuyas fluctuaciones a gran escala se relajan lentamente, es decir, en la representación del momento, la tasa de relajación de las fluctuaciones con un vector de onda k dado tiende a cero en . Por ejemplo, el campo de parámetro de orden cerca del punto crítico siempre es en sí mismo un modo suave. En segundo lugar, la funcional U será la derivada variacional de la acción estática. Escribamos el enunciado correspondiente del problema: $k->0$

$\parcial _{t}\phi _{a}=(\alpha _{ab}+\beta _{ab}){\frac {\delta S^{st}(\phi)}{\delta \phi _{b))}+\eta _{a},\ \ \ <{\sombrero {\eta }}_{a}(x){\sombrero {\eta }}_{b}(x' )>=2\alfa _{ab}\delta (xx')$

${\ estilo de visualización \ alfa _ {ab}}$ aquí se llama coeficiente de Onsager, acoplamiento entre modos. ${\ estilo de visualización \ beta {ab}}$

Para ellos se cumplen las siguientes condiciones:

${\ estilo de visualización \ alfa _ {ab} = \ alfa _ {ba}}$ , es decir, el coeficiente de Onsager es simétrico (esto se puede entender fácilmente por el hecho de que el correlador de perturbaciones de fuerzas aleatorias es simétrico por definición)

${\ estilo de visualización \ beta _ {ab} = - \ beta _ {ba}}$

La justificación de las propiedades del acoplamiento intermodo se realiza mediante la ecuación de Fokker-Planck .

Así, el planteamiento de uno u otro problema de dinámica crítica corresponde a la asignación de un conjunto de campos que describen el sistema, el coeficiente de Onsager y el acoplamiento intermodo. La siguiente es una lista de los modelos más utilizados y estudiados.

Modelos de dinámica crítica

Siguiendo el artículo clásico [Hohenberg, Halperin], aquí hay una lista estándar de modelos de dinámica crítica. Todos ellos corresponden al modelo estático para el campo de parámetro de pedido, la acción en estos modelos se dará explícitamente. ${\displaystyle O_{n}-\fi^{4))$

La acción del modelo estático para un campo de n componentes es ${\displaystyle O_{n}-\fi^{4))$ $\psi$

S^{st}(\psi )=-(\parcial \psi )^{2}/2-\tau \psi ^{2}/2-v_{1}(\psi ^{2}) ^{2}/24

Modelos A y B

A y B son modelos de relajación, es decir, el acoplamiento entre modos (la parte antisimétrica de la matriz correspondiente) es igual a cero.

El modelo A describe un ferroimán anisotrópico con un campo no conservado de un componente del orden del parámetro, para el cual se considera en el sistema físico la proyección de la magnetización en uno de los ejes de coordenadas;

El modelo B describe un ferroimán uniaxial con un campo conservado de un componente del parámetro de orden, que en el sistema físico está representado por la proyección de la magnetización en uno de los ejes de coordenadas.

Modelo A:

{\displaystyle \phi =\{\psi \},S^{st}(\psi ),\alpha _{\psi }=\lambda _{\psi ))

dónde $\lambda _{a}\equiv const>0\ \ \forall a$

Modelo B:

{\displaystyle \phi =\{\psi \},S^{st}(\psi ),\alpha _{\psi }=-\lambda _{\psi }\cdot \parcial ^{2))

Desde el punto de vista del marco formal, los modelos A y B se diferencian únicamente en la conservación del campo de parámetros de orden.

Modelos C y D

Los modelos C y D también son puramente relajantes. Son generalizaciones de los modelos A y B para el caso de conservación de la energía; introducen un campo escalar conservado adicional que describe las fluctuaciones de temperatura. $m(x)=<{\sombrero {E))(x)>$

Modelo C:

{\ estilo de visualización \ phi = \ {\ psi, m \))

, donde m es un campo adicional persistente de un componente

S^{st}(\phi)=S^{st}(\psi)-m^{2}/2-v_{2}m\psi ^{2}/2

{\displaystyle \alpha _{\psi }=\lambda _{\psi };\ \ \ \alpha _{m}=-\lambda _{m}\cdot \parcial ^{2))

Modelo D:

{\ estilo de visualización \ phi = \ {\ psi, m \))

, donde m es un campo adicional persistente de un componente

S^{st}(\phi)=S^{st}(\psi)-m^{2}/2-v_{2}m\psi ^{2}/2

\alpha _{\psi }=-\lambda _{\psi }\cdot \parcial ^{2};\ \ \ \alpha _{m}=-\lambda _{m}\cdot \parcial ^ {2}

Nuevamente, desde el punto de vista del marco formal, los modelos C y D difieren solo en la preservación del campo de parámetros de orden.

Literatura

Vasiliev AN Grupo de renormalización de campos cuánticos en la teoría del comportamiento crítico y la dinámica estocástica. - San Petersburgo. : Editorial PIYaF, 1998.
Hohenberg PC Halperin BI Teoría de los fenómenos críticos dinámicos, Rev. Modificación. física, vol. 49, núm. 3, julio de 1977, págs. 435-475

Notas

Enlaces

formalismo MSR