El lema de Verrier es un teorema en la geometría de un triángulo , relacionado con las propiedades de los círculos circunscritos y semi-inscritos de un triángulo.
Si la circunferencia ω toca los lados AB,BC y el arco AC de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, respectivamente, en los puntos C 1 ,A 1 ,B 1 , entonces los puntos C 1 ,I,A 1 , donde I es el incentro del triángulo ABC, son colineales .
Nótese que, según el lema de Arquímedes, la recta B 1 A 1 pasa por el punto medio del arco BC de la circunferencia circunscrita que no contiene el punto A . De manera similar, la línea B 1 C 1 pasa por el punto medio del arco AB que no contiene el vértice C. Denotemos los puntos medios de estos arcos como A 0 , C 0 respectivamente. Del mismo lema de Arquímedes se sigue que A 0 B 2 = A 0 A 1 · A 0 B. Por lo tanto, el grado del punto A 0 es el mismo con respecto al círculo ω y al punto B. Una afirmación similar es verdadera para el punto C 0 . De aquí se sigue que la línea A 0 C 0 es el eje radical del punto B y el círculo ω. Por tanto, la recta A 0 C 0 pasa por los puntos medios de los segmentos BA 1 ,BC 1 . Por lo tanto, la línea A 0 C 0 contiene la línea media FE del triángulo C 1 BA 1 . Por tanto, la imagen del punto B, al reflejar el punto B con respecto a la recta A 0 C 0 , se encuentra sobre la recta A 1 C 1 .
Por otro lado, por el lema del tridente, IC 0 = BC 0 e IA 0 = BA 0 . Por lo tanto, el punto B, cuando se refleja con respecto a la línea A 0 C 0 , va al punto I. De aquí se sigue que el punto I se encuentra en la línea A 1 C 1 .
El círculo ω se llama el semicírculo del triángulo ABC