Teorema de sardo

El teorema de Sard es uno de los teoremas del análisis matemático que tiene importantes aplicaciones en geometría diferencial y topología , teoría de catástrofes y teoría de sistemas dinámicos . [una]

Nombrado en honor al matemático estadounidense Arthur Sard . [2] En algunas fuentes se le llama el teorema de Bertini-Sard , [3] y también a veces se asocia con los nombres de Anthony Morse (obtuvo un resultado particular anterior) [4] y Shlomo Sternberg (un resultado posterior pero más general ) [5] .

Redacción

Sea un conjunto abierto en el espacio y sea una función suave de la clase _ _ _ _ $tu$ $\mathbb{R} ^{m}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n))$ ${\ estilo de visualización C^{k},}$ $k\geqslant 1.$ $S\subconjunto U$ $F.$ $k\geqslant m-n+1,$ $f(S)$ $\R^n.$

Notas

Como demostró H. Whitney , el grado de suavidad aquí no puede reducirse mediante ninguna combinación de y [6] [7] $k$ $metro$ $norte.$

Ejemplo

Consideremos una función idénticamente constante.Todos los puntos de su dominio de definición son críticos, por lo tanto, sin embargo, el conjunto de valores críticos consta de un solo punto y, por lo tanto, tiene una medida de Lebesgue cero. $f\equiv f_{0}.$ $tu$ ${\ estilo de visualización S = U.}$ $f(S)$ $f_0$

Variaciones y generalizaciones

Lema de Sarda

La medida del conjunto de valores críticos de una función suave es igual a cero. $c ^ 1$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{1))$

prueba _ Sin pérdida de generalidad, consideraremos un segmento , elegimos un número y dividimos el segmento en partes iguales para que en cada una de ellas no exceda la fluctuación de la derivada Esto se puede hacer debido a que, según la condición del lema, la función es continua , y por tantosegmentoel en es uniformemente continua en él, es decir, ${\ estilo de visualización [a, b] = [0,1].}$ $\varepsilon >0$ $[0,1]$ $norte$ $F'$ $\varepsilon.$ $F'$ $[0,1]$ $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x_{1},x_{2}\in [0,1]:\ |x_{1}-x_{2}|<\ delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon.$

Denote por aquellos segmentos (partes de la partición hecha arriba) que contienen al menos un punto crítico de la función , es decir, es obvio que para tales segmentos la estimación es válida para todos , y por lo tanto ( Fórmula de incrementos finitos ), para cualesquiera dos señala la desigualdad $\Delta _{i}$ $F,$ $\existe \xi _{i}\in \Delta _{i}\ :\ f'(\xi _{i})=0.$ $|f'(x)|\leqslant\varepsilon$ ${\ estilo de visualización x \ en \ Delta _ {i))$ $y_{1},y_{2}\inf(\Delta _{i})$ $|y_{1}-y_{2}|\leqslant \max _{x\in \Delta _{i}}|f'(x)|\cdot |\Delta _{i}|\leqslant \ varepsilon /n.$

Si cubrimos cada conjunto con un intervalo de longitud, entonces obtendremos una cobertura del conjunto de todos los valores críticos con intervalos cuya suma de longitudes no exceda de .Debido a la arbitrariedad de la elección del número, esto significa que la medida del conjunto de valores críticos es igual a cero. ${\ estilo de visualización f (\ Delta _ {i})}$ ${\ estilo de visualización 2 {\ cdot} \ varepsilon / n,}$ $2{\cdot }\varepsilon /n\cdot n=2{\cdot }\varepsilon .$ $\varepsilon$

Teorema de Dubovitsky

Sean y dos variedades suaves de dimensiones positivas y y una función suave de la clase donde Un punto se llama irregular si el rango de la matriz jacobiana de la función en él es menor que Punto se llama irregular si al menos un punto irregular . En el caso, la noción de punto irregular coincide con la noción de punto crítico de una función. En el caso, todos los puntos de la variedad son irregulares. $M^{m}$ $N^{n}$ $metro$ $norte$ ${\ estilo de visualización f: M ^ {m} \ a N ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización C^{k},}$ $k\geqslant 1.$ ${\ estilo de visualización x \ en M^{m))$ $F$ $norte.$ ${\ estilo de visualización y \ en N ^ {n}}$ $y=f(x)$ ${\ estilo de visualización x \ en M^{m))$ ${\ Displaystyle m \ geqslant n}$ $m<n$ $M^{m}$

Si es un número , entonces el conjunto de puntos de mapeo irregulares en la variedad tiene la primera categoría de Baer , es decir, es una unión finita o numerable de conjuntos compactos que no son densos en ninguna parte. $k\geqslant m-n+1,$ $F$ $N^{n}$ ${\ estilo de visualización N^{n}.}$

Este teorema fue demostrado por el matemático soviético A. Ya. Dubovitsky [8] [9] [10] .

Otros análogos

Stephen Smale [11] obtuvo un análogo de dimensión infinita del teorema de Sard (para variedades en espacios de Banach ) . Los análogos para mapeos de espacios de Hölder y Sobolev se obtuvieron en [12] . En [13] se obtuvo un análogo para funciones de suavidad reducida .

Literatura

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularidades de asignaciones diferenciables, — Cualquier edición.
Zorich V. A. Análisis matemático, - Cualquier edición.
Milnor J., Wallace A. Topología diferencial (curso inicial), - Cualquier edición.
Hirsch M. Topología diferencial, - Cualquier edición.
Spivak M. Análisis matemático en variedades, - M .: Mir, 1968.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometría moderna. Métodos y aplicaciones, - Cualquier edición.
Sard A. La medida de los valores críticos de los mapas diferenciables, Bull. amer Matemáticas. Soc. 48 (1942), págs. 883-890.
Sternberg S. Conferencias sobre geometría diferencial, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964.
Pontryagin LS Variedades lisas y su aplicación en la teoría de la homotopía. — M.: Nauka, 1985. — 176 p.

Notas

↑ Arnold V. I. Capítulos adicionales de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias, párrafo 10.
↑ Sard A. La medida de los valores críticos de mapas diferenciables, - Bull. amer Matemáticas. Soc. 48 (1942), págs. 883-890. . Consultado el 7 de mayo de 2010. Archivado desde el original el 12 de octubre de 2012. (indefinido)
↑ Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularidades de asignaciones diferenciables, párrafo 2.
↑ Morse AP El comportamiento de una función en su conjunto crítico. - Anales de Matemáticas, vol. 40, núm. 1 (1939), págs. 62-70.
↑ Sternberg S. Conferencias sobre geometría diferencial.
↑ Zorich V. A. Análisis matemático, volumen II, capítulo XI, párrafo 5.
↑ Whitney H. Una función no constante en un conjunto conectado de puntos críticos, - Duke Math. J. 1 (1935), 514-517.
↑ Dubovitsky A. Ya. Sobre asignaciones diferenciables de un cubo n - dimensional en un cubo k - dimensional. Estera. Sb., 1953, 32(74):2, pág. 443-464.
↑ Dubovitsky A. Ya. Sobre la estructura de conjuntos de niveles de asignaciones diferenciables de un cubo n - dimensional en un cubo k - dimensional. Izv. Academia de Ciencias de la URSS. Ser. Mat., 1957, 21:3, pág. 371-408.
↑ Pontryagin L. S. Variedades suaves y sus aplicaciones en la teoría de la homotopía, - Cualquier edición.
↑ Smale S. Una versión de dimensión infinita del teorema de Sard, - American Journal of Mathematics, vol. 87, núm. 4 (1965), págs. 861-866.
↑ Bojarski B., Hajlasz P., Teorema de Strzelecki P. Sard para mapeos en espacios de Holder y Sobolev, - Manuscripta Math., 118 (2005), pp. 383-397.
↑ Korobkov M. V. Sobre un análogo del teorema de Sard para funciones suaves de dos variables, - Siberian Mathematical Journal, 2006, 47:5, p. 1083-1091. $c ^ 1$