Análisis matemático

Análisis matemático ( análisis matemático clásico ) - un conjunto de secciones de matemáticas , correspondientes a la sección histórica bajo el nombre de " análisis de infinitesimales ", combina cálculo diferencial e integral .

El análisis moderno se basa en el análisis matemático clásico , que se considera como una de las tres áreas principales de las matemáticas (junto con el álgebra y la geometría ). Al mismo tiempo, el término "análisis matemático" en el sentido clásico se utiliza principalmente en los planes de estudios y materiales [1] . En la tradición angloamericana, el análisis matemático clásico corresponde a los programas de cursos con el nombre de " calculus " ( ing. Calculus ).

Historia

Los precursores del análisis matemático fueron el antiguo método de agotamiento y el método de los indivisibles . Las tres direcciones, incluido el análisis, tienen una idea inicial común: la descomposición en elementos infinitesimales , cuya naturaleza, sin embargo, parecía bastante vaga para los autores de la idea. El enfoque algebraico ( cálculo infinitesimal ) comienza a aparecer en Wallis , James Gregory y Barrow . El nuevo cálculo como sistema fue creado en su totalidad por Newton , quien, sin embargo, no publicó sus descubrimientos durante mucho tiempo [2] .

La fecha oficial de nacimiento del cálculo diferencial puede considerarse mayo de 1684 , cuando Leibniz publicó el primer artículo “Un nuevo método de máximos y mínimos…” [3] . Este artículo, de forma concisa e inaccesible, esbozaba los principios de un nuevo método llamado cálculo diferencial.

Leibniz y sus alumnos

A finales del siglo XVII , surgió un círculo en torno a Leibniz , cuyos representantes más destacados fueron los hermanos Bernoulli ( Jacob y Johann ) y Lopital . En 1696 , utilizando las conferencias de I. Bernoulli, Lopital escribió el primer libro de texto [4] , que describía el nuevo método aplicado a la teoría de las curvas planas . Lo llamó Análisis de infinitesimales , dando así uno de los nombres a la nueva rama de las matemáticas. La presentación se basa en el concepto de variables, entre las cuales existe alguna conexión, por lo que un cambio en una implica un cambio en la otra. En Lopital, esta conexión se da con la ayuda de curvas planas: si es un punto en movimiento de una curva plana, entonces sus coordenadas cartesianas y , llamadas abscisa y ordenada de la curva, son variables, y un cambio implica un cambio . El concepto de función está ausente: queriendo decir que la dependencia de las variables está dada, Lopital dice que "se conoce la naturaleza de la curva". El concepto de diferencial se introduce de la siguiente manera: $METRO$ $X$ $y$ $X$ $y$

Una parte infinitesimal, por la cual una variable crece o decrece continuamente, se llama su diferencial... Para denotar la diferencial de una variable, que a su vez se expresa con una letra, usaremos el signo o símbolo . [5] ... Una parte infinitesimal, por la cual el diferencial de una variable crece o decrece continuamente, se llama ... el segundo diferencial. [6] $d$

Estas definiciones se explican geométricamente, con la Fig. los incrementos infinitesimales se representan como finitos. La consideración se basa en dos requisitos ( axiomas ). Primero:

Se requiere que dos cantidades, que difieren entre sí solo por una cantidad infinitesimal, se puedan tomar [¿al simplificar expresiones?] indiferentemente una en lugar de la otra. [7]

De esto resulta , además $x+dx=x$

$dxy = (x+dx)(y+dy)-xy= xdy+ydx + dxdy= (x+dx)dy+ ydx=xdy+ydx$

y así. reglas de diferenciación .

El segundo requisito es:

Se requiere que uno pueda considerar una línea curva como una colección de un conjunto infinito de líneas rectas infinitamente pequeñas. [ocho]

La continuación de cada línea se llama tangente a la curva. [9] Investigando la tangente que pasa por el punto , L'Hopital concede gran importancia a la cantidad $M = (x, y)$

y\frac{dx}{dy}-x

alcanzando valores extremos en los puntos de inflexión de la curva, mientras que a la relación no se le otorga ningún significado especial. $dy$ $dx$

Cabe destacar la búsqueda de puntos extremos . Si, con un aumento continuo en la abscisa , la ordenada primero aumenta y luego disminuye, entonces el diferencial es primero positivo en comparación con y luego negativo. $X$ $y$ $dy$ $dx$

Pero cualquier cantidad que crece o decrece continuamente no puede pasar de positiva a negativa sin pasar por infinito o cero... De ello se deduce que la diferencia entre la magnitud mayor y la menor debe ser igual a cero o infinito. [diez]

Esta formulación probablemente no sea perfecta, si recordamos el primer requisito: digamos, entonces, en virtud del primer requisito $y=x^2$

2xdx+dx^2=2xdx

;

en cero, el lado derecho es cero, pero el lado izquierdo no lo es. Aparentemente debería haberse dicho que es posible transformar de acuerdo con el primer requisito para que en el punto máximo . [11] En los ejemplos, todo se explica por sí mismo, y solo en la teoría de los puntos de inflexión L'Hopital escribe que es igual a cero en el punto máximo, dividido por [10] . $dy$ $dy=0$ $dy$ $dx$

Además, solo con la ayuda de diferenciales, se formulan condiciones para un extremo y se considera una gran cantidad de problemas complejos, principalmente relacionados con la geometría diferencial en el plano. Al final del libro, en el cap. 10, se enuncia lo que ahora se llama la regla de L'Hopital , aunque en una forma no del todo ordinaria. Sea el valor de la ordenada de la curva expresado como una fracción, cuyo numerador y denominador se anulan en . Entonces el punto de la curva con tiene una ordenada igual a la razón de la diferencial del numerador a la diferencial del denominador, tomada en . $y$ $x=a$ $x=a$ $y$ $x=a$

Según la idea de L'Hopital, lo que escribió fue la primera parte del Análisis, mientras que se suponía que la segunda contenía cálculo integral, es decir, un método para encontrar la conexión de variables por la conexión conocida de sus diferenciales. Su primera exposición la dio Johann Bernoulli en sus Mathematical Lectures on the Integral Method [12] . Aquí se da un método para tomar la mayoría de las integrales elementales y se indican métodos para resolver muchas ecuaciones diferenciales de primer orden.

Al señalar la utilidad práctica y la simplicidad del nuevo método, Leibniz escribió:

Lo que un hombre versado en este cálculo puede acertar en tres líneas, otros hombres más eruditos se vieron obligados a buscar, siguiendo complejos rodeos.

Euler

Los cambios que tuvieron lugar durante el próximo medio siglo se reflejan en el extenso tratado de Euler . La presentación del análisis abre la "Introducción" de dos volúmenes, que contiene investigaciones sobre varias representaciones de funciones elementales. El término “función” aparece por primera vez recién en 1692 por Leibniz , [13] sin embargo, fue Euler quien lo adelantó a los primeros roles. La interpretación original del concepto de función era que una función es una expresión para contar ( alemán: Rechnungsausdrϋck ) o una expresión analítica . [catorce]

La función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de alguna manera de esta cantidad variable y números o cantidades constantes. [quince]

Al enfatizar que “la principal diferencia entre las funciones radica en la forma en que se componen de variables y constantes”, Euler enumera las acciones “mediante las cuales las cantidades pueden combinarse y mezclarse entre sí; estas acciones son: suma y resta, multiplicación y división, exponenciación y extracción de raíces; la solución de ecuaciones [algebraicas] también debe incluirse aquí. Además de estas operaciones, llamadas algebraicas, existen muchas otras, trascendentales, tales como: exponencial, logarítmica e innumerables otras, entregadas por el cálculo integral. [16] Tal interpretación hizo posible tratar fácilmente con funciones de múltiples valores y no requirió una explicación de qué campo se considera la función: la expresión de conteo se define para valores complejos de variables incluso cuando esto no es necesario para el problema en consideración.

Las operaciones en la expresión estaban permitidas solo en un número finito, y lo trascendente penetraba con la ayuda de un número infinitamente grande [17] . En expresiones, este número se usa junto con los números naturales. Por ejemplo, tal expresión para el exponente se considera válida $\infty$

e^x=\left(1+\frac{x}{\infty}\right)^\infty

en el que solo autores posteriores vieron la transición al límite. Se hicieron varias transformaciones con expresiones analíticas, lo que permitió a Euler encontrar representaciones para funciones elementales en forma de series, productos infinitos, etc. Euler transforma expresiones para contar de la misma manera que lo hacen en álgebra, sin prestar atención a la posibilidad de calcular el valor de una función en un punto para cada uno a partir de fórmulas escritas.

A diferencia de L'Hôpital, Euler considera en detalle las funciones trascendentales y, en particular, las dos clases más estudiadas de ellas, la exponencial y la trigonométrica. Descubre que todas las funciones elementales se pueden expresar mediante operaciones aritméticas y dos operaciones: tomar el logaritmo y el exponente [18] .

El mismo curso de la demostración demuestra perfectamente la técnica de usar lo infinitamente grande. Habiendo determinado el seno y el coseno usando el círculo trigonométrico, Euler deduce lo siguiente de las fórmulas de suma:

(\cos x + \sqrt{-1}\sin x)(\cos y + \sqrt{-1}\sin y)=\cos{(x+y)}+ \sqrt{-1} \sin{ (x+y)},

y desde aquí

2\cos nx =(\cos x + \sqrt{-1}\sen x)^n+(\cos x - \sqrt{-1}\sen x)^n

Poniendo y , se pone $n=\infty$ $z=nx$

2\cos z =\left (1 + \frac{\sqrt{-1} z}{\infty}\right)^\infty+\left (1 - \frac{\sqrt{-1}z}{\infty }\right)^\infty=e^{\sqrt{-1}z}+e^{-\sqrt{-1}z}

descartando valores infinitesimales de orden superior. Usando esta y una expresión similar, Euler también obtiene su famosa fórmula

e^{\sqrt{-1}x}=\cos{x}+\sqrt{-1}\sin{x}

Habiendo indicado varias expresiones para funciones que ahora se llaman elementales, Euler procede a considerar curvas en el plano, dibujadas por el libre movimiento de la mano. En su opinión, no es posible encontrar una sola expresión analítica para cada una de esas curvas (ver también The String Debate ). [19] En el siglo XIX, por sugerencia de Casorati [20] , esta afirmación se consideró errónea: por el teorema de Weierstrass, cualquier curva continua en el sentido moderno puede describirse aproximadamente mediante polinomios. De hecho, a Euler no le convenció mucho esto, porque todavía tenemos que reescribir el pasaje hasta el límite usando el símbolo . $\infty$

La presentación de Euler del cálculo diferencial comienza con la teoría de las diferencias finitas, seguida en el tercer capítulo por una explicación filosófica de que "una cantidad infinitesimal es exactamente cero", que sobre todo no convenía a los contemporáneos de Euler. Luego, a partir de diferencias finitas con un incremento infinitesimal, se forman diferenciales, ya partir de la fórmula de interpolación de Newton, la fórmula de Taylor . Este método se remonta esencialmente al trabajo de Taylor (1715). En este caso, Euler tiene una razón estable que, sin embargo, se considera como la razón de dos infinitesimales. Los últimos capítulos están dedicados al cálculo aproximado mediante series. $\frac{d^ky}{dx^k}$

En el cálculo integral de tres volúmenes, Euler introduce el concepto de integral de la siguiente manera:

Esa función, cuyo diferencial se llama su integral y se denota por el signo colocado al frente. [21] $=Xdx$ $S$

En general, esta parte del tratado de Euler está dedicada al problema más general de la integración de ecuaciones diferenciales desde un punto de vista moderno. Al mismo tiempo, Euler encuentra una serie de integrales y ecuaciones diferenciales que conducen a nuevas funciones, por ejemplo, funciones -, funciones elípticas, etc. En la década de 1830, Jacobi dio una prueba rigurosa de su no elementalidad para funciones elípticas y por Liouville (ver funciones elementales ). $\Gama$

Lagrange

La siguiente obra importante que desempeñó un papel importante en el desarrollo del concepto de análisis fue la Teoría de las funciones analíticas de Lagrange [22] y la extensa narración de las obras de Lagrange [23] de Lacroix de una manera un tanto ecléctica.

Deseando deshacerse por completo de lo infinitesimal, Lagrange invirtió la conexión entre las derivadas y la serie de Taylor. Por función analítica, Lagrange entendió una función arbitraria investigada por métodos de análisis. Designó la función en sí como , dando una forma gráfica de escribir la dependencia; antes, Euler manejaba solo con variables. Para aplicar los métodos de análisis, según Lagrange, es necesario que la función se expanda en una serie $f(x)$

f(x+h)=f(x)+ph+qh^2+\puntos

cuyos coeficientes serán nuevas funciones de . Queda por llamar a la derivada (coeficiente diferencial) y designarla como . Así, el concepto de derivada se introduce en la segunda página del tratado y sin la ayuda de los infinitesimales. Queda por señalar que $X$ $pags$ $f'(x)$

f'(x+h)=p+2qh+\puntos

entonces el coeficiente es el doble de la derivada de la derivada , es decir $q$ $f(x)$

q=\frac{1}{2!}f''(x)

etc [24]

Este enfoque de la interpretación del concepto de derivada se utiliza en el álgebra moderna y sirvió como base para la creación de la teoría de las funciones analíticas de Weierstrass .

Lagrange operó tales series como formales y obtuvo una serie de teoremas notables. En particular, por primera vez y con bastante rigor demostró la solución del problema inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias en series de potencias formales. [25]

Lagrange planteó por primera vez la cuestión de estimar la precisión de las aproximaciones proporcionadas por sumas parciales de la serie de Taylor: al final de la Teoría de las funciones analíticas , derivó lo que ahora se llama la fórmula de Taylor con un término residual en la forma de Lagrange. [26] Sin embargo, a diferencia de los autores modernos, Lagrange no vio la necesidad de utilizar este resultado para justificar la convergencia de la serie de Taylor.

Posteriormente, la cuestión de si las funciones utilizadas en el análisis pueden realmente expandirse en una serie de potencias se convirtió en tema de discusión. Por supuesto, Lagrange sabía que en algunos puntos las funciones elementales pueden no expandirse en una serie de potencias, pero en estos puntos no son diferenciables en ningún sentido. Cauchy en su Análisis Algebraico dio como contraejemplo la función

f(x)=e^{-1/x^2},

extendido por cero en cero. Esta función es suave en todas partes en el eje real y tiene una serie cero de Maclaurin en cero, que, por lo tanto, no converge a . Contra este ejemplo, Poisson objetó que Lagrange definió una función como una sola expresión analítica, mientras que en el ejemplo de Cauchy la función se da de manera diferente en cero y en . Fue solo a finales del siglo XIX que Pringsheim [27] demostró que existe una función infinitamente diferenciable dada por una sola expresión para la cual la serie de Maclaurin diverge. Un ejemplo de tal función es la expresión $f(x)$ $x\no=0$

\Psi(x)=\sum \limits_{k=0}^\infty \frac{\cos{(3^kx))){k!}

Mayor desarrollo

En el siglo XVIII , sobre la base del análisis clásico, se desarrollaron y aplicaron en la práctica nuevas ramas como el cálculo de variaciones , las ecuaciones diferenciales ordinarias y las ecuaciones diferenciales parciales , las transformadas de Fourier y las funciones generadoras . La física matemática surgió sobre la base del análisis, y los métodos analíticos penetraron profundamente en la geometría e incluso en la teoría de números .

En el siglo XIX , Cauchy fue el primero en darle al análisis una base sólida, introduciendo el concepto de límite de una sucesión , también abrió una nueva página en el análisis complejo . Poisson , Liouville , Fourier y otros estudiaron ecuaciones diferenciales parciales y análisis armónico .

En el último tercio del siglo XIX, Weierstrass hizo una aritmetización del análisis, considerando insuficiente la justificación geométrica, y propuso la definición clásica del límite mediante -lenguaje . También creó la primera teoría rigurosa del conjunto de números reales . Al mismo tiempo, los intentos de mejorar el teorema de integrabilidad de Riemann llevaron a la creación de una clasificación de discontinuidad de funciones reales. También se descubrieron ejemplos "patológicos" ( funciones continuas en ninguna parte diferenciables, curvas que llenan el espacio ). En este sentido, Jordan desarrolló la teoría de la medida y la teoría de conjuntos de Cantor , y a principios del siglo XX, el análisis matemático se formalizó con su ayuda. Otro desarrollo importante del siglo XX fue el desarrollo por parte de Robinson del análisis no estándar , un enfoque alternativo para la justificación del análisis; además, por medio de análisis no estándar, se descubrieron varios resultados nuevos que no se conocían en el análisis clásico, pero que en principio podrían obtenerse por medios clásicos [28] .

Cálculo diferencial

El cálculo diferencial estudia la definición, propiedades y aplicaciones de las funciones derivadas . El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación . Dada una función y un punto en su dominio, la derivada en ese punto es una forma de codificar el comportamiento a escala fina de esa función cerca de ese punto. Al encontrar la derivada de la función en cada punto del dominio, se puede definir una nueva función, llamada función derivada , o simplemente la derivada de la función original. En lenguaje matemático, una derivada es un mapeo lineal que tiene una función como entrada y otra como salida. Este concepto es más abstracto que la mayoría de los procesos estudiados en álgebra elemental, donde las funciones suelen tener un número como entrada y otro como salida. Por ejemplo, si a la función de duplicación se le da una entrada de tres, la salida será seis; si la entrada a una función cuadrática es tres, la salida será nueve. La derivada también puede tener una función cuadrática como entrada. Esto significa que la derivada toma toda la información sobre la función de elevar al cuadrado, es decir: cuando se ingresa dos, da como salida cuatro, convierte tres en nueve, cuatro en dieciséis, etc., y usa esta información para obtener otra función. . (La derivada de una función cuadrática es simplemente la función de duplicación).

El símbolo más común para denotar un derivado es un signo parecido a un apóstrofe llamado trazo . Así, la derivada de la función f es f , pronunciada "f prima". Por ejemplo, si f ( x ) = x 2 es la función de elevar al cuadrado, entonces f′ ( x ) = 2 x es su derivada, esta es la función de duplicación.

Si la entrada de la función es el tiempo, entonces la derivada es el cambio con respecto al tiempo. Por ejemplo, si f es una función que depende del tiempo y da como resultado la posición de la pelota en el tiempo, entonces la derivada de f determina el cambio en la posición de la pelota en el tiempo, es decir, la velocidad de la pelota.

Si la función es lineal (es decir, si la gráfica de la función es una línea recta), entonces la función se puede escribir como y = mx + b , donde x es la variable independiente, y es la variable dependiente y b es el corte y , con:

m= \frac{\text{aumento}}{\text{ejecutar}}= \frac{\text{cambio en } y}{\text{cambio en } x} = \frac{\Delta y}{\Delta X}.

Esta expresión da el valor exacto del ángulo de inclinación de una línea recta. Si la gráfica de la función no es una línea recta, entonces el cambio en y dividido por el cambio en x varía de un punto a otro. La derivada da el significado exacto del concepto de un cambio en el valor de salida con respecto a un cambio en la entrada. Para ser específicos, sea f una función y fijamos un punto a en el dominio de f . ( a , f ( a )) es un punto en la gráfica de la función. Si h es un número cercano a cero, entonces a + h es un número cercano a a . Por lo tanto, el punto ( a + h , f ( a + h )) está cerca del punto ( a , f ( a )). El ángulo de inclinación entre estos dos puntos es:

m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Esta expresión se llama relación de diferencias . Una línea que pasa por dos puntos en una curva se llama línea secante , por lo que m es el ángulo de la línea secante entre ( a , f ( a )) y ( a + h , f ( a + h )). La secante es solo una aproximación al comportamiento de una función en un punto, ya que no tiene en cuenta el comportamiento de la función entre los puntos a y ( a + h , f ( a + h )). Determinar este comportamiento igualando h a cero no es posible porque requeriría una división por cero, que se descarta. La derivada se determina tomando el límite cuando h tiende a cero, lo que significa que considera el comportamiento de f para todos los valores pequeños de h y extrae un valor aceptable para el caso cuando h es cero:

\lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}.

Geométricamente, la derivada es igual al ángulo de inclinación de la tangente a la gráfica de la función f en el punto a . La tangente es el límite de las rectas secantes, así como la derivada es el límite de las relaciones de diferencias. Por esta razón, la derivada a veces se llama la pendiente de la función f .

Aquí hay un ejemplo específico, la derivada de la función de elevar al cuadrado en el punto 3. Sea f ( x ) = x 2 una función cuadrática.

\begin{align}f'(3) &=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 3^2\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0} {9 + 6h + h^2 - 9\sobre{h}} \\ &=\lim_{h \to 0}{6h + h^2\sobre{h}} \\ &=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\ &= 6. \end{alinear}

La pendiente de la tangente a la función cuadrática en el punto (3;9) es 6, es decir, crece hacia arriba seis veces más rápido que la desviación a la derecha. El cálculo del límite descrito anteriormente se puede realizar para cualquier punto en el dominio de la función cuadrática. Esto define la función derivada, o simplemente la derivada de la función cuadrática para abreviar . Los cálculos realizados muestran que la derivada de una función cuadrática es una función de duplicación.

Cálculo integral

El cálculo integral es el estudio de la definición, las propiedades y las aplicaciones de dos conceptos relacionados: la integral indefinida y la integral definida . El proceso de encontrar el valor de una integral se llama integración. En términos técnicos, el cálculo integral es el estudio de dos operadores lineales acoplados .

La integral indefinida es antiderivada , es decir, la operación inversa a la derivada. F es una integral indefinida de f cuando f es una derivada de F . (Este uso de letras mayúsculas y minúsculas para una función y su integral indefinida es común en cálculo).

La integral definida de la función de entrada y los valores de salida es un número que es igual al área de la superficie delimitada por el gráfico de la función, el eje de abscisas y dos segmentos de línea recta desde el gráfico de la función hasta el eje de abscisas en los puntos de los valores de salida. En términos técnicos, la integral definida es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos, llamada suma de Riemann .

Un ejemplo de la física es el cálculo de la distancia recorrida al caminar en un momento dado.

\mathrm{Distancia} = \mathrm{Velocidad} \cdot \mathrm{Tiempo}

Si la velocidad es constante, la operación de multiplicación es suficiente, pero si la velocidad varía, entonces debemos aplicar un método más potente para calcular la distancia. Uno de estos métodos es un cálculo aproximado al dividir el tiempo en períodos cortos separados. Luego, multiplicando el tiempo en cada intervalo por cualquiera de las velocidades en ese intervalo y luego sumando todas las distancias aproximadas (suma de Riemann) recorridas en cada intervalo, obtenemos la distancia total recorrida. La idea básica es que si usa intervalos muy cortos, la velocidad en cada uno de ellos permanecerá más o menos constante. Sin embargo, la suma de Riemann solo da una distancia aproximada. Para encontrar la distancia exacta, debemos encontrar el límite de todas esas sumas de Riemann.

Si f(x) en el diagrama de la izquierda representa el cambio de velocidad en el tiempo, entonces la distancia recorrida (entre los tiempos a y b ) es el área del área sombreada s .

Para una estimación aproximada de esta área, es posible un método intuitivo que consiste en dividir la distancia entre a y b en un número determinado de segmentos (segmentos) iguales de longitud Δx . Para cada segmento, podemos elegir un valor de la función f ( x ). Llamemos a este valor h . Entonces el área del rectángulo con base Δx y altura h da la distancia (tiempo Δx por velocidad h ) recorrida en ese segmento. Cada segmento está asociado con el valor medio de la función f(x) =h. La suma de todos esos rectángulos da una aproximación del área bajo la curva, que es una estimación de la distancia total recorrida. Disminuir Δx dará más rectángulos y es una mejor aproximación en la mayoría de los casos, pero para obtener una respuesta precisa debemos calcular el límite cuando Δx tiende a cero.

El símbolo de integración es , una letra S alargada (S significa "suma"). La integral definida se escribe como: $\En t$

\int_a^bf(x)\, dx.

y dice: "integral de a a b de la función f de x a x ". La notación dx propuesta por Leibniz pretende dividir el área bajo la curva en un número infinito de rectángulos tales que su ancho Δx sea un valor infinitesimal de dx . En la formulación del cálculo basado en límites, la notación

\int_a^b \ldots\,dx

debe entenderse como un operador que toma una función como entrada y da como salida un número igual al área. dx no es un número y no se multiplica por f(x) .

La integral indefinida, o antiderivada, se escribe como:

\int f(x)\, dx.

Las funciones que difieren en una constante tienen las mismas derivadas y, por lo tanto, la antiderivada de una función dada es en realidad una familia de funciones que difieren solo en una constante. Dado que la derivada de la función y \ u003d x ² + C , donde C es cualquier constante, es igual a y′ \u003d 2 x , entonces la antiderivada de esta última está determinada por la fórmula:

\int 2x\, dx = x^2 + C.

Una constante indefinida de tipo C en una antiderivada se conoce como constante de integración .

Teorema de Newton-Leibniz

El teorema de Newton-Leibniz, también llamado teorema fundamental de análisis , establece que la diferenciación y la integración son operaciones mutuamente inversas. Más precisamente, se trata del valor de las antiderivadas para ciertas integrales. Dado que generalmente es más fácil calcular la antiderivada que aplicar la fórmula integral definida, el teorema proporciona una forma práctica de calcular integrales definidas. También puede interpretarse como una declaración exacta de que la diferenciación es lo contrario de la integración.

El teorema dice: si una función f es continua en el intervalo [ a , b ] y si F es una función cuya derivada es igual a f en el intervalo ( a , b ), entonces:

\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).

Además, para cualquier x del intervalo ( a , b )

\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)\, dt = f(x).

Esta intuición, realizada tanto por Newton como por Leibniz, quienes basaron sus resultados en el trabajo anterior de Isaac Barrow , fue clave para la rápida difusión de los resultados analíticos después de que se conociera su trabajo. El teorema fundamental da un método algebraico para calcular muchas integrales definidas sin procesos limitantes, al encontrar la fórmula antiderivada . Además, surgió un prototipo para la resolución de ecuaciones diferenciales . Las ecuaciones diferenciales conectan funciones desconocidas con sus derivadas, se usan en todas partes en muchas ciencias.

Aplicaciones

El análisis matemático es ampliamente utilizado en física , informática , estadística , ingeniería , economía , negocios , finanzas , medicina , demografía y otras áreas en las que se puede construir un modelo matemático para resolver un problema , y es necesario encontrar su solución óptima .

En particular, casi todos los conceptos de la mecánica clásica y el electromagnetismo están inextricablemente vinculados entre sí precisamente por medio del análisis matemático clásico. Por ejemplo, dada la distribución de densidad conocida de un objeto, su masa , momentos de inercia , así como la energía total en un campo potencial se pueden encontrar usando cálculo diferencial. Otro ejemplo sorprendente de la aplicación del análisis matemático en la mecánica es la segunda ley de Newton : históricamente, utiliza directamente el término "tasa de cambio" en la formulación "Fuerza \u003d masa × aceleración", ya que la aceleración es la derivada del tiempo de la velocidad o la Segunda derivada del tiempo a partir de la trayectoria o posición espacial.

La teoría del electromagnetismo de Maxwell y la teoría general de la relatividad de Einstein también se expresan en el lenguaje del cálculo diferencial. En química, el cálculo se utiliza para determinar la velocidad de las reacciones y la velocidad de desintegración radiactiva. En biología, con la ayuda del cálculo, se calcula la dinámica poblacional, teniendo en cuenta datos sobre la reproducción y mortalidad de la especie.

El cálculo se puede utilizar junto con otras disciplinas matemáticas. Por ejemplo, se puede usar junto con el álgebra lineal para encontrar la "mejor" aproximación lineal para un conjunto de puntos en un dominio. O puede usarse en la teoría de la probabilidad para determinar la probabilidad de una variable aleatoria continua dependiendo de la densidad de distribución. En geometría analítica , cuando se estudian gráficas de funciones, el cálculo se usa para encontrar puntos máximos y mínimos, pendientes, curvaturas y puntos de inflexión .

El teorema de Green , que establece la relación entre una integral curvilínea sobre una curva cerrada simple C y una integral doble sobre un área plana D delimitada por esta curva C, se aplica en un instrumento conocido como planímetro , que se utiliza para calcular el área de una superficie plana en un dibujo. Por ejemplo, se puede usar para calcular el área de una figura de forma irregular: un jardín de flores o una piscina al diseñar su sitio.

El teorema de Green discreto, que establece la relación entre la integral doble de una función sobre el perímetro de un rectángulo y la combinación lineal de los valores de la antiderivada sobre los vértices del rectángulo, permite calcular rápidamente la suma de las áreas de las regiones rectangulares. Por ejemplo, se puede usar para calcular de manera eficiente la suma de áreas rectangulares en imágenes para encontrar propiedades e identificar objetos rápidamente.

En el campo de la medicina, el análisis matemático se usa para encontrar el ángulo óptimo de ramificación de los vasos sanguíneos que maximiza el flujo. Conociendo la ley de descomposición aplicada a la eliminación de cualquier droga del cuerpo, se usa el cálculo para estimar el nivel de dosificación de estas drogas. En medicina nuclear, el cálculo se utiliza para desarrollar modelos de transferencia de radiación en la terapia tumoral dirigida.

En economía, las herramientas de análisis matemático permiten determinar la ganancia máxima utilizando los conceptos de costo marginal e ingreso marginal .

El análisis matemático también se utiliza para encontrar soluciones aproximadas a las ecuaciones. En la práctica, esta es la forma estándar de resolver ecuaciones diferenciales y encontrar raíces en la mayoría de las aplicaciones. Algunos ejemplos son el método de Newton , el método de iteración simple y el método de aproximación lineal. Por ejemplo, al calcular la trayectoria de una nave espacial, se utiliza una variante del método de Euler para aproximar los cursos de movimiento curvilíneo en ausencia de gravedad.

Bibliografía

Artículos de enciclopedia

Análisis // Léxico enciclopédico : en 17 volúmenes - San Petersburgo. : Tipo de. A. Plushara , 1835-1841.
Análisis matemático // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.

Literatura educativa

Libros de texto estándar

Durante muchos años, los siguientes libros de texto han sido populares en la URSS, la CEI y Rusia:

Courant, R. Un curso de cálculo diferencial e integral (en dos volúmenes). El principal hallazgo metodológico del curso: primero, las ideas principales se expresan simplemente, y luego se les dan demostraciones rigurosas. Escrito por Courant cuando era profesor en la Universidad de Göttingen en la década de 1920 bajo la influencia de las ideas de Klein , luego trasladado a suelo estadounidense en la década de 1930. La traducción rusa de 1934 y su reimpresión da el texto de acuerdo con la edición alemana, la traducción de la década de 1960 (la llamada 4ª edición ) es una compilación de las versiones alemana y estadounidense del libro de texto y, por lo tanto, es muy detallada.
Fikhtengol'ts G. M. Un curso de cálculo diferencial e integral (en tres volúmenes) y un libro de problemas.
Demidovich B.P. Colección de problemas y ejercicios de análisis matemático.
Lyashko I. I. et al. Libro de referencia sobre matemáticas superiores, vol. 1-5.

Algunas universidades tienen sus propias pautas para el análisis:

Universidad Estatal de Moscú , MehMat:

Arkhipov G.I., Sadovnichiy V.A., Chubarikov V.N. Conferencias sobre matemáticas. análisis.
Zorich V. A. Análisis matemático. Parte I. M.: Nauka, 1981. 544 p.
Zorich V. A. Análisis matemático. Parte II. M.: Nauka, 1984. 640 p.
Kamynin L. I. Curso de análisis matemático (en dos volúmenes). Moscú: Prensa de la Universidad de Moscú, 2001.

Universidad Estatal de Moscú , VMK:

V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Análisis Matemático / Ed. A. N. Tijonova . - 3ra ed. , revisado y adicional - M .: Prospekt, 2006. - ISBN 5-482-00445-7 .

Universidad Estatal de Moscú , Facultad de Física:

Ilyin V. A. , Poznyak E. G. Fundamentos del análisis matemático (en dos partes). — M. : Fizmatlit, 2005. — 648 p. - ISBN 5-9221-0536-1 .
Butuzov V. F. y otros Mat. análisis en preguntas y tareas

MSTU im. N. E. Bauman :

Matemáticas en la Universidad Técnica Colección de libros de texto en 21 tomos.

Universidad Estatal de San Petersburgo , Facultad de Física:

Smirnov V. I. Curso de matemáticas superiores, en 5 volúmenes. M.: Nauka, 1981 (6ª edición), BHV-Petersburg, 2008 (24ª edición).

NSU , mejmat:

Reshetnyak Yu. G. Curso de Análisis Matemático. Parte I. Libro 1. Introducción al Análisis Matemático. Cálculo diferencial de funciones de una variable. Novosibirsk: Editorial del Instituto de Matemáticas, 1999. 454 p.ISBN 5-86134-066-8 .
Reshetnyak Yu. G. Curso de Análisis Matemático. Parte I. Libro 2. Cálculo integral de funciones de una variable. Cálculo diferencial de funciones de varias variables. Novosibirsk: Editorial del Instituto de Matemáticas, 1999. 512 p.ISBN 5-86134-067-6 .
Reshetnyak Yu. G. Curso de Análisis Matemático. Parte II. Libro 1. Fundamentos del análisis suave en espacios multidimensionales. Teoría de filas. Novosibirsk: Editorial del Instituto de Matemáticas, 2000. 440 p.ISBN 5-86134-086-2 .
Reshetnyak Yu. G. Curso de Análisis Matemático. Parte II. Libro 2. Cálculo integral de funciones de muchas variables. Cálculo integral en variedades. Formas diferenciales externas. Novosibirsk: Editorial del Instituto de Matemáticas, 2001. 444 p.ISBN 5-86134-089-7 .
Shvedov I. A. Curso compacto de análisis matemático, 2003 : Parte 1. Funciones de una variable , Parte 2. Cálculo diferencial de funciones de varias variables .

MIPT , Moscú

Kudryavtsev L. D. Curso de análisis matemático (en tres volúmenes).
Yakovlev G. N. Conferencias sobre análisis matemático: [a las 3 en punto]. 2ª ed., revisada. y adicional - M. : Fizmatlit, 2004. - 3000 ejemplares. (Parte 1. 340 págs. ISBN 5-94052-083-9 , Parte 2. 332 págs. ISBN 5-94052-085-5 . Parte 3. 312 págs. ISBN 5-94052-086-3 ).

BSU , FPMI:

Bogdanov Yu. S. Conferencias sobre análisis matemático (en dos partes). - Minsk: BGU, 1974.

Libros de texto avanzados

Tutoriales:

Natanson, I. P. Teoría de funciones de una variable real. - M. : Nauka, 1974. - 484 p.
Rudin U. Fundamentos de Análisis Matemático. M., 1976

Tareas de mayor complejidad:

G. Polia, G. Szege, Problemas y teoremas del análisis. Parte 1 , Parte 2 , 1978
Pascal, E. (Nápoles). Esercizi, 1895; 2ª ed., 1909 // Archivo de Internet

Libros de texto de humanidades

AM Akhtyamov Matemáticas para sociólogos y economistas. — M.: Fizmatlit, 2004.
N. Sh. Kremer et al. Matemáticas superiores para economistas. Libro de texto. 3ra ed. - M. : Unidad, 2010

Libros de tareas

GN Berman. Colección de tareas para el curso de análisis matemático: Libro de texto para universidades. — 20ª edición. M.: Ciencia. Edición principal de literatura física y matemática, 1985. - 384 p.
P. E. Danko, A. G. Popov, T. Ya. Kozhevnikov. Matemáticas superiores en ejercicios y tareas. (En 2 partes) - M .: Vyssh.shk, 1986.
GI Zaporozhets Guía para resolver problemas de análisis matemático. - M.: Escuela superior, 1966.
IA Kaplan. Clases prácticas de matemáticas superiores, en 5 partes .. - Kharkov, Izd. Estado de Járkov. un-ta, 1967, 1971, 1972.
K. N. Lungu, V. P. Norin, D. T. Pismenny, Yu. A. Shevchenko. Colección de problemas de matemáticas superiores. Curso 1. - 7ª ed. - M.: Iris-prensa, 2008.
I. A. Marón. Cálculo diferencial e integral en ejemplos y tareas (Funciones de una variable). - M., Fizmatlit, 1970.
V. D. Chernenko. Matemáticas superiores en ejemplos y problemas: libro de texto para escuelas secundarias. En 3 volúmenes - San Petersburgo: Politécnico, 2003.

Clásicos

Lopital. Análisis de infinitesimales
Bernoulli, Johann. Die erste Integralrechnung / Leipzig-Berlín, 1914.
Euler. Introducción al Análisis, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral
Cauchy. Resumen de lecciones de cálculo diferencial e integral
Tormenta. Curso de análisis. T.1,2 - Curso clásico de la escuela politécnica parisina de la década de 1830.
Gursa E. Estera del curso. análisis. T 1.1, 1.2

Escritos sobre la historia del análisis

Kestner, Abraham Gottgelf . Geschichte der Mathematik . 4 volúmenes, Göttingen, 1796-1800
Kantor, Moritz . Vorlesungen über Geschichte der Mathematik Leipzig: BG Teubner , 1894-1908 . bd. 1 , Bd. 2 , Bd. 3 , Bd. cuatro
Historia de las matemáticas, editado por A. P. Yushkevich (en tres volúmenes):

Volumen 1 Desde la antigüedad hasta el comienzo de los tiempos modernos. (1970)
Volumen 2 Matemáticas del siglo XVII. (1970)
Tomo 3 Matemáticas del siglo XVIII. (1972)

Markushevich AI Ensayos sobre la historia de la teoría de las funciones analíticas. 1951
Vileitner G. Historia de las matemáticas desde Descartes hasta mediados del siglo XIX. 1960
E. Hairer, G. Wanner. Análisis por su Historia. 2000

Notas

↑ Análisis matemático // Gran enciclopedia soviética : [en 30 volúmenes] / cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M. : Enciclopedia soviética, 1969-1978.
↑ Newton, I. Obras Matemáticas . M, 1937.
↑ Leibniz // Acta Eroditorum, 1684. LMS, volumen V, p. 220-226. Rus. per.: Éxito Mat. Nauk, volumen 3, c. 1 (23), pág. 166-173.
↑ Lopital. Análisis de infinitesimales . M.-L.: GTTI, 1935. (En adelante: Lopital) // Mat. análisis en EqWorld Archivado el 4 de junio de 2018 en Wayback Machine .
↑ Lopital, cap. 1, definitivamente 2.
↑ Lopital, cap. 4, definitivamente una.
↑ Lopital, cap. 1, requisito 1.
↑ Lopital, cap. 1, requisito 2.
↑ Lopital, cap. 2, def.
↑ 1 2 Lopital, § 46.
↑ Lopital se preocupa por otra cosa: para él, la longitud del segmento y necesitas explicar qué significa su negatividad. La observación hecha en § 8-10 puede incluso entenderse en el sentido de que cuando disminuye con el crecimiento , se debe escribir , pero esto no se usa más. $dy$ $y$ $X$ $dxy=ydx-xdy$
↑ Bernoulli, Johann. Die erste Integralrechnung. Archivado el 29 de noviembre de 2003 en Wayback Machine Leipzig-Berlin, 1914.
↑ Ver: Tapete de éxito. Nauk, volumen 3, c. 1 (23)
↑ Véase Markushevich A. I. Elementos de la teoría de las funciones analíticas , Uchpedgiz, 1944, páginas 21 y siguientes; Koenig F. Kommentierender Anhang zu Funktionentheorie von F. Klein . Leipzig: Teubner, 1987; así como Reseña histórica en el artículo Función
↑ Euler. Introducción al Análisis . T. 1. Cap. catorce
↑ Euler. Introducción al Análisis . T. 1. Cap. dieciséis
↑ Euler se refiere a este número como , lo que no puede sino confundir al lector moderno. $i$
↑ Introducción al análisis , volumen 1, cap. ocho
↑ Algunos investigadores (ver, por ejemplo, Historia de las Matemáticas, vol. 2) quieren ver en lo dicho en el segundo volumen de la Introducción al Análisis los gérmenes de una nueva interpretación del concepto de función, pero el texto solo dice que las curvas, y no las funciones en absoluto, no pueden representarse como una expresión única para la cuenta, es decir, una función.
↑ Casorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse . Pavía, 1868. Pág. 191
↑ Euler. Cálculo integral . T. 1, def. 2
↑ Lagrange. OEvres . vol. 9 Archivado el 23 de agosto de 2017 en Wayback Machine .
↑ Lacroix. Traite du calcul differentiel et du calcul integral . vol. 1-3. 1 ed., 1798. (Great Lacroix)// http://gallica.bnf.fr Archivado el 18 de diciembre de 2016 en Wayback Machine .
↑ Ver también: Markushevich A.I. Elementos de la teoría de funciones analíticas . M., 1944. C. 22-24
↑ Lacroix. Traité , vol. 2, § 594.
↑ Ver también: Historia de las Matemáticas , volumen 3., p. 297-300
↑ Pringssheim A.//Matemáticas. Ana. bd. 43 (1893); ver también: Markushevich A.I. Elementos de la teoría de funciones analíticas . M., 1944. C. 16-17.
↑ Análisis matemático : artículo de la Enciclopedia matemática . Dragalin A. G. Con la ayuda de N. a. se descubrieron varios hechos nuevos. Muchos clásicos. las pruebas se benefician notablemente en claridad cuando se presentan mediante métodos de análisis no estándar

Enlaces

Análisis // Léxico enciclopédico : en 17 volúmenes - San Petersburgo. : Tipo de. A. Plushara , 1835-1841.
Análisis matemático // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.

diccionarios y enciclopedias	Gran danés gran ruso Brockhaus y Efron alrededor del mundo Léxico enciclopédico Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	BNF : 119891944 J9U : 987007293765505171 LCCN : sh85018802 NKC : ph1034721

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